Решение: Числа по маске и делимость
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины, в том числе пустую. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих $10^8$, найдите все числа, соответствующие маске 3?1*57, делящиеся на 2023 без остатка.
Запишите найденные числа в порядке возрастания, а также соответствующие результаты деления этих чисел на 2023.
Решение по шагам
6 шаговТак как искомые числа оканчиваются цифрами 57, для частного $q$ должно выполняться сравнение $2023q \equiv 57 \pmod{100}$.
$$23q \equiv 57 \pmod{100}$$Обратный к 23 по модулю 100 элемент равен 87, поэтому $q \equiv 57 \cdot 87 \equiv 59 \pmod{100}$.
При длине звёздочки 0 подходящих чисел нет. При длине 1 подходит число $2023 \cdot 159 = 321657$.
При длине 2 проверяются частные $1559$, $1659$, $1759$, $1859$; ни одно произведение не имеет маску 3?1*57.
При длине 3 подходящие частные имеют вид $14959 + 100t$. Проверка произведений даёт шесть чисел: $2023 \cdot 16859$, $2023 \cdot 17359$, $2023 \cdot 17859$, $2023 \cdot 18359$, $2023 \cdot 18859$, $2023 \cdot 19359$.
Вычисляем произведения и располагаем пары по возрастанию чисел.
321657 159; 34105757 16859; 35117257 17359; 36128757 17859; 37140257 18359; 38151757 18859; 39163257 19359
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют только числа одной длины и пропускают варианты с разной длиной последовательности вместо символа «*».
Забывают, что «*» может задавать пустую последовательность.
Не сортируют найденные числа по возрастанию.
Записывают частное с ошибкой при умножении 2023 на найденное значение.