Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по информатике: «Игры и стратегии» — с ответами

Минимальное значение S

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   Используем правила игры и систему выигрышных и проигрышных позиций, заданные в материале к заданию 19.
2. 2
   Проверяем условие отсутствия гарантированной победы Вани первым ходом: при меньших значениях параметра такая стратегия ещё возможна либо требуемая стратегия не гарантирует победу не позднее второго хода.

Ещё 2 шага — в полном решении

Стратегия выигрыша Вани

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   Для каждого значения $S$ анализируем позиции игры из задания 19 и проверяем стратегии Вани при любой игре Пети.
2. 2
   Отбираем значения, при которых Ваня может гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

Ещё 2 шага — в полном решении

Выигрышная стратегия Вани

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой…

1. 1
   Рассматриваем игру из задания 19 и анализируем позиции, из которых Ваня может гарантированно добиться победы своим первым или вторым ходом при любой игре Пети.
2. 2
   Из подходящих значений исключаем те, при которых Ваня может гарантированно выиграть уже первым ходом.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Минимальное значение S

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   По правилам игры из задания 19 рассматриваем все возможные первые ходы Вани и ответы Пети для каждого значения $S$.
2. 2
   Отбрасываем значения $S$, при которых Ваня может гарантированно выиграть уже первым ходом: они не удовлетворяют второму условию.

Ещё 2 шага — в полном решении

Выигрышная стратегия Вани

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   Для игры из задания 19 строим дерево возможных ходов и классифицируем позиции по времени гарантированной победы Вани.
2. 2
   Отбираем значения $S$, для которых Ваня может гарантированно выиграть первым или вторым ходом, независимо от ответа Пети.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выигрышная стратегия Вани

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: — у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   Для каждой возможной позиции из игры задания 19 определяем, может ли Ваня гарантированно выиграть своим первым ходом.
2. 2
   Затем рассматриваем позиции, из которых Ваня выигрывает первым или вторым ходом независимо от хода Пети. Из них исключаем позиции, обеспечивающие гарантированный выигрыш уже первым ходом.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выигрышная стратегия Вани

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой…

1. 1
   Рассмотрим дерево игры из задания 19 и проверим для каждого значения $S$ две характеристики: может ли Ваня гарантированно выиграть первым ходом и может ли он гарантированно выиграть первым или вторым ходом.
2. 2
   Выбираем значения $S$, при которых выигрыш первым ходом не гарантирован, но выигрыш первым или вторым ходом гарантирован при любой игре Пети.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стратегия игры за два хода

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   По правилам игры из задания 19 перебираем значения $S$ и анализируем все возможные ходы Пети. Для подходящего значения после любого первого хода Пети у Вани должна существовать ответная стратегия, приводящая к победе не позднее второго…
2. 2
   Одновременно исключаем значения, при которых Ваня может гарантированно выиграть уже первым ходом.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выигрышная стратегия Вани

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: — у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при…

1. 1
   Рассматриваем дерево игры из задания 19 и для каждого значения $S$ определяем, есть ли у Вани стратегия, гарантирующая победу первым или вторым ходом.
2. 2
   Одновременно исключаем значения, при которых Ваня уже может гарантированно выиграть первым ходом.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Минимальное значение S

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   По правилам игры из задания 19 перебираем значения $S$ и анализируем выигрышность начальной позиции: отдельно проверяем возможность гарантированной победы Вани первым ходом и возможность победы первым или вторым ходом.
2. 2
   Для значений, меньших 44, хотя бы одно из условий не выполняется. При $S=44$ у Вани существует стратегия, гарантирующая победу первым или вторым ходом при любой игре Пети, но стратегии гарантированной победы первым ходом нет.$$S=44$$

Минимальное значение S

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   Рассматриваем дерево игры из задания 19 и классифицируем позиции по минимальному числу ходов, за которое Ваня может гарантированно добиться победы.
2. 2
   Проверяем значения $S$ по возрастанию. Нужно, чтобы выигрыш Вани был гарантирован не позднее второго хода, но не гарантирован первым ходом.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стратегия игры за два хода

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   Рассматриваем игру из задания 19 и строим дерево возможных ходов для разных значений параметра $S$.
2. 2
   Проверяем первое условие: после любого хода Пети у Вани должна быть стратегия, приводящая к победе не позднее второго хода.

Ещё 2 шага — в полном решении

Поиск порога выигрышной стратегии

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   Для каждой позиции игры из задания 19 определяем, может ли Ваня гарантированно завершить игру своим первым ходом. Такие значения $S$ необходимо исключить.
2. 2
   Затем проверяем, существует ли стратегия, гарантирующая победу Вани первым или вторым ходом независимо от ходов Пети.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выигрышная стратегия Вани

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: — у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   По правилам игры из задания 19 перебираем значения $S$ и анализируем все возможные ходы игроков.
2. 2
   Для каждого значения проверяем, существует ли у Вани стратегия, гарантирующая победу первым или вторым ходом независимо от действий Пети.

Ещё 2 шага — в полном решении

Выигрышная стратегия Вани

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: — у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым…

1. 1
   По условию задания 19 анализируем дерево игры и классифицируем позиции по возможности гарантированного выигрыша Вани.
2. 2
   Отбираем значения $S$, для которых Ваня может выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но не может гарантировать победу уже первым ходом.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стратегия в игре с кучками

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 3, а во второй — 2 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит…

1. 1
   После первого хода первого игрока возможны четыре позиции: $(4, 2)$, $(3, 3)$, $(9, 2)$ или $(3, 6)$.
2. 2
   Позиция $(4, 3)$ проигрышна для игрока, которому предстоит ходить. Действительно, из неё нельзя сразу получить сумму не менее 16. После добавления камня получаются позиции $(5, 3)$ или $(4, 4)$, после утроения — $(12, 3)$ или $(4, 9)$. В…

Ещё 4 шага — в полном решении

Стратегия в игре с кучами

Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в одной из куч в два раза. Игра завершается…

1. 1
   Из позиции (4, 33) Петя удваивает вторую кучу и получает позицию (4, 66), в которой сумма камней равна 70. После любого хода Вани Петя получает возможность завершить игру, а непосредственно из (4, 33) также можно удвоить вторую кучу до…
2. 2
   Однако более сильный непосредственный ход из позиции (4, 33) — удвоить вторую кучу: получается (4, 66), сумма равна 70. Ваня может добавить камень или удвоить одну из куч, после чего сумма станет не менее 71. Поэтому Петя выигрывает…

Ещё 7 шагов — в полном решении

Стратегии в игре с парами

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди…

1. 1
   В задании 1 из позиции $(10,S)$ Петя может получить позиции $(10+S,S)$ и $(10,10+S)$. Их суммы равны $10+2S$ и $20+S$ соответственно. Чтобы Петя не мог выиграть одним ходом, обе суммы должны быть меньше 29.$$10+2S<29,\quad 20+S<29$$
2. 2
   Из второго неравенства получаем $S<9$, поэтому максимальное целое значение $S$ равно 8. При $S=8$ после ходов получаются суммы 26 и 28, то есть выиграть одним ходом нельзя.$$S_{\max}=8$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Стратегии в игре с камнями

Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 2 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Игра завершается, когда количество…

1. 1
   Петя выигрывает одним ходом, если хотя бы один из переходов $S+2$, $S+3$, $2S$ даёт не менее 60. При $1 \leq S \leq 59$ это выполняется при $S \geq 30$.$$S \in \{30,31,\ldots,59\}$$
2. 2
   Для задания 1б можно взять $S=28$. После хода Пети получаются позиции 30, 31 или 56. Из позиций 30 и 31 Ваня удваивает количество камней, а из позиции 56 также удваивает его и сразу получает не менее 60.$$28 \to 30,31,56;\quad 30\to60,\ 31\to62,\ 56\to112$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Стратегии в игре с парами чисел

Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с парой неотрицательных целых чисел. За один ход игрок заменяет одно из чисел пары на сумму обоих чисел. Игра заканчивается, когда сумма чисел становится не…

1. 1
   В задании 1 Петя может заменить число 12 на сумму чисел. Тогда получится позиция $(12+S,S)$ с суммой $12+2S$. Требуется $12+2S\ge67$, поэтому $S\ge27{,}5$. Так как $S$ — целое число, минимальное значение равно 28.$$12+2S\ge67\Rightarrow S\ge27{,}5$$
2. 2
   В задании 2 из позиции $(15,14)$ Петя может получить либо $(29,14)$, либо $(15,29)$. В первом случае Ваня заменяет 14 на сумму и получает $(29,43)$, сумма которой равна 72. Во втором случае Ваня заменяет 15 на сумму и получает $(44,29)$…$$29+43=72\ge67,\qquad 44+29=73\ge67$$

Ещё 5 шагов — в полном решении