Стратегии в игре с парами чисел
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с парой неотрицательных целых чисел. За один ход игрок заменяет одно из чисел пары на сумму обоих чисел. Игра заканчивается, когда сумма чисел становится не менее 67. Побеждает игрок, сделавший последний ход.
Задание 1. Перед ходом Пети записана пара $(12,S)$. Найдите минимальное значение $S$, при котором Петя может выиграть одним ходом.
Задание 2. Для начальной позиции $(15,14)$ определите, кто имеет выигрышную стратегию, и опишите эту стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции $(4,8)$ определите, кто имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при реализации этой стратегии. В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрышной стратегии.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальной позиции (20, 25) и заданной сумме 67 выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно заменить на сумму меньшее число пары
Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел (12, S). Укажите минимальное значение S, такое, что Петя может выиграть одним своим ходом.
Задание 2. Для начальной позиции (15, 14) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции (4, 8) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
После замены первого числа $a$ на сумму чисел сумма пары становится $2a+b$, а после замены второго числа — $a+2b$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для позиций, в которых сумма меньше 67, определяйте, может ли игрок своим ходом перевести игру в позицию, проигрышную для соперника. Позиция с суммой не менее 67 является конечной.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
В задании 1 достаточно проверить неравенство $12+2S\ge67$. В задании 2 после любого первого хода Пети Ваня может заменить меньшее число на сумму обоих чисел.