Ответ: Стратегии в игре с парами чисел
1) Минимальное значение $S$ равно 28. 2) Выигрышная стратегия есть у Вани: после любого первого хода Пети заменить меньшее число на сумму обоих чисел. 3) Выигрышная стратегия есть у Вани. Он отвечает переходом $(8,12)\to(12,20)$ или $(4,12)\to(4,16)$, а затем выбирает ход, приводящий к позиции с суммой не менее 67.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с парой неотрицательных целых чисел. За один ход игрок заменяет одно из чисел пары на сумму обоих чисел. Игра заканчивается, когда сумма чисел становится не менее 67. Побеждает игрок, сделавший последний ход.
Задание 1. Перед ходом Пети записана пара $(12,S)$. Найдите минимальное значение $S$, при котором Петя может выиграть одним ходом.
Задание 2. Для начальной позиции $(15,14)$ определите, кто имеет выигрышную стратегию, и опишите эту стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции $(4,8)$ определите, кто имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при реализации этой стратегии. В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрышной стратегии.
Где здесь ошибаются
Проверяют только один из двух возможных ходов, не рассматривая замену каждого числа пары.
Считают выигрышной позицию, в которой сумма уже не менее 67, хотя такая позиция является конечной.
В задании 3 строят полное дерево игры, включая ходы, которые выигрышный игрок не стал бы делать.
Не указывают ответную стратегию для всех ходов соперника.