Ответ: Стратегии в игре с парами
1) $S=8$. 2) Выигрывает Ваня: после $(5,8)\to(13,8)$ он получает $(13,21)$, а после $(5,8)\to(5,13)$ — $(18,13)$. 3) При позиции $(2,3)$ выигрывает Ваня. Его стратегия: $(5,3)\to(5,8)$ и $(2,5)\to(7,5)$; далее он отвечает так, чтобы получить сумму не менее 29.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Например, из позиции $(7, 20)$ можно получить позицию $(27, 20)$ или $(7, 27)$.
Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший пару, сумма чисел которой стала не менее 29.
Игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая может встретиться при различной игре противника.
Например, при начальной позиции $(5, 15)$ и заданной сумме 29 выигрышная стратегия есть у Пети: ему достаточно заменить первое число пары на сумму обоих чисел и получить позицию $(20, 15)$.
Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел $(10, S)$. Укажите максимальное значение $S$, такое, что Петя не может выиграть одним своим ходом.
Задание 2. Для начальной позиции $(5, 8)$ укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции $(2, 3)$ укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной вами выигрышной стратегии. В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии.
Где здесь ошибаются
Проверяют только один из двух возможных ходов из позиции.
Считают выигрышной позицию, из которой можно получить сумму 29 или больше не текущим ходом, а через ход соперника.
В задании 3 строят полное дерево игры, включая ветви, которые не возникают при использовании выигрышной стратегии Вани.
В позиции $(12,5)$ выбирают переход в $(17,5)$, который не завершает игру; правильный ход — в $(12,17)$.