Решения заданий ФИПИ ОГЭ по информатике: «Логика и булева алгебра» — с ответами

Проверка логического высказывания

Дано четыре числа: 6843, 4562, 3561, 1234. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание: НЕ (первая цифра чётная) И НЕ (последняя цифра нечётная)? В ответе запишите это число.

1. 1
   Высказывание НЕ (первая цифра чётная) истинно, если первая цифра нечётная.
2. 2
   Высказывание НЕ (последняя цифра нечётная) истинно, если последняя цифра чётная.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Минимальное число в логическом выражении

Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого истинно высказывание: $((x > 3) \text{ И } \text{НЕ}(x < 4)) \text{ ИЛИ } (x < 1)$.

1. 1
   Рассмотрим первую часть высказывания: $x > 3$ и $\text{НЕ}(x < 4)$. Отрицание условия $x < 4$ означает $x \geq 4$.$$x > 3 \ \text{и}\ x \geq 4$$
2. 2
   Оба условия первой части выполняются при $x \geq 4$. Вторая часть $x < 1$ для натуральных чисел не даёт меньшего подходящего значения.$$x = 4$$

Наименьшее число по условию

Определите наименьшее трёхзначное число $x$, для которого истинно логическое выражение: «$x$ оканчивается на 3» И НЕ «$x < 230$».

1. 1
   Преобразуем вторую часть логического выражения: НЕ «$x < 230$» означает, что $x \geq 230$.$$x \geq 230$$
2. 2
   Ищем наименьшее число, не меньшее 230, которое оканчивается на 3. Число 230 не подходит, поэтому проверяем следующее число с последней цифрой 3.$$233 \geq 230$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое высказывание с НЕ

Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: $(x > 3)$ ИЛИ НЕ $(x > 2)$.

1. 1
   Высказывание с операцией «ИЛИ» ложно только в том случае, если оба его составляющих высказывания ложны.$$(x > 3) = \mathrm{ложь}, \quad \mathrm{НЕ}(x > 2) = \mathrm{ложь}$$
2. 2
   Условие $(x > 3)$ ложно при $x \leq 3$. Высказывание $\mathrm{НЕ}(x > 2)$ ложно при $x > 2$.$$x \leq 3, \quad x > 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое высказывание с неравенствами

Напишите натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: НЕ $(x < 8)$ ИЛИ $(x < 7)$.

1. 1
   Высказывание вида $A$ ИЛИ $B$ ложно только при одновременной ложности $A$ и $B$.
2. 2
   Чтобы часть НЕ $(x < 8)$ была ложной, выражение $(x < 8)$ должно быть истинным: $x < 8$.$$x < 8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Логическое высказывание с НЕ

Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: НЕ $(x > 2)$ ИЛИ $(x = 4)$.

1. 1
   Высказывание с операцией ИЛИ ложно, если оба его высказывания ложны.$$\neg\bigl(\neg(x>2)\bigr)=\text{истина},\quad x\ne4$$
2. 2
   Следовательно, число должно быть больше 2 и не должно быть равно 4.$$x>2,\quad x\ne4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое высказывание с НЕ

Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: $(\text{НЕ }(x \ge 6) \text{ И НЕ }(x = 5)) \text{ ИЛИ } (x \le 7)$.

1. 1
   Обозначим левую часть высказывания через $A$, а правую — через $B$: $A = (\text{НЕ }(x \ge 6) \text{ И НЕ }(x = 5))$, $B = (x \le 7)$.
2. 2
   Высказывание $A \text{ ИЛИ } B$ ложно только при одновременной ложности $A$ и $B$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Логическое выражение и числа

Определите количество натуральных чисел $x$, для которых логическое выражение ложно: НЕ ((x < 8) И (x < 21)) ИЛИ (x нечётное).

1. 1
   Условие $(x < 8) И (x < 21)$ равносильно условию $x < 8$, поскольку любое число, меньшее $8$, меньше и $21$.$$(x < 8) И (x < 21) \equiv x < 8$$
2. 2
   После отрицания первая часть выражения истинна при $x \geq 8$. Всё выражение может быть ложным только при $x < 8$ и чётном $x$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое высказывание о числе

Напишите наибольшее двузначное число большее 50, для которого истинно высказывание: НЕ (Число > 75) И (Число чётное).

1. 1
   Высказывание НЕ (Число > 75) истинно, если число не больше 75.$$\neg(\text{Число} > 75) \Longleftrightarrow \text{Число} \leq 75$$
2. 2
   Так как условия соединены операцией И, число также должно быть чётным и большим 50.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое высказывание с НЕ

Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого истинно высказывание: $\neg\bigl((x > 3) \lor (x < 2)\bigr) \land (x > 2)$.

1. 1
   Отрицание дизъюнкции преобразуем по закону де Моргана:$$\neg((x > 3) \lor (x < 2)) \equiv (x \leq 3) \land (x \geq 2)$$
2. 2
   Добавляем второе условие исходного высказывания $x > 2$:$$(x \leq 3) \land (x \geq 2) \land (x > 2) \equiv 2 < x \leq 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее число по условию

Напишите наибольшее трёхзначное число $x$, для которого истинно высказывание: НЕ (первая цифра нечётная) И ($x$ делится на 3).

1. 1
   Высказывание НЕ (первая цифра нечётная) означает, что первая цифра числа должна быть чётной.
2. 2
   Чтобы число было наибольшим, рассматриваем числа с первой цифрой 8: число с первой цифрой 9 не подходит, так как 9 нечётная.

Ещё 2 шага — в полном решении

Наименьшее число для высказывания

Найдите наименьшее натуральное число $x$, для которого истинно высказывание: $(x < 3) \text{ И } ((x < 2) \text{ ИЛИ } (x > 2))$.

1. 1
   Проверяем наименьшее натуральное число $x = 1$.$$1 < 3$$
2. 2
   Первое условие истинно. В скобках условие $x < 2$ также истинно, поэтому выражение в скобках истинно.$$(1 < 2) \text{ ИЛИ } (1 > 2) = \text{истина}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое высказывание о числе

Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого истинно высказывание: $(x < 4) \ И\ (x > 1) \ И\ (x \ne 2)$.

1. 1
   Из условий $x > 1$ и $x < 4$ получаем натуральные числа $2$ и $3$.$$1 < x < 4 \Rightarrow x \in \{2,3\}$$
2. 2
   Условие $x \ne 2$ исключает число $2$. Остаётся число $3$.$$x = 3$$

Логическое высказывание с отрицанием

Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: $(x \ge 3) \text{ ИЛИ НЕ }(x \ge 2)$.

1. 1
   Проверим наименьшее натуральное число $x=1$. Первое условие ложно, но второе после отрицания истинно: $\text{НЕ}(1 \ge 2)$ — истина. Поэтому всё высказывание истинно.$$(1 \ge 3) \text{ ИЛИ НЕ }(1 \ge 2) = \text{ложь} \text{ ИЛИ истина} = \text{истина}$$
2. 2
   Проверим $x=2$. Условие $2 \ge 3$ ложно, а условие $2 \ge 2$ истинно, поэтому его отрицание ложно.$$(2 \ge 3) \text{ ИЛИ НЕ }(2 \ge 2) = \text{ложь} \text{ ИЛИ ложь} = \text{ложь}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Проверка логического высказывания

Даны четыре числа: 6843, 4562, 3561, 1234. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание: НЕ (первая цифра чётная) И (последняя цифра нечётная)?

1. 1
   Высказывание НЕ (первая цифра чётная) истинно тогда, когда первая цифра нечётная.
2. 2
   Так как между условиями стоит операция И, последняя цифра также должна быть нечётной.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое выражение и числа

Определите количество натуральных двузначных чисел $x$, для которых ложно логическое выражение: НЕ ($x$ чётное) И НЕ ($x$ кратно 13).

1. 1
   Выражение НЕ ($x$ чётное) И НЕ ($x$ кратно 13) ложно, если хотя бы одно из исходных условий истинно: $x$ чётное или $x$ кратно 13.$$\neg(\neg A \land \neg B) = A \lor B$$
2. 2
   Среди двузначных чисел от 10 до 99 имеется 45 чётных чисел.

Ещё 2 шага — в полном решении

Логическое высказывание о числах

Напишите количество натуральных чисел, для которых истинно высказывание: НЕ (Число нечётное) И НЕ (Число > 12).

1. 1
   Отрицание высказывания «число нечётное» означает, что число чётное.
2. 2
   Отрицание высказывания «число > 12» означает, что число не больше 12.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое высказывание с отрицанием

Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: $(x = 2)$ ИЛИ НЕ $(x < 3)$.

1. 1
   Высказывание с операцией «ИЛИ» ложно, если оба его компонента ложны.$$(x = 2) = \text{ложь}, \quad \mathrm{НЕ}(x < 3) = \text{ложь}$$
2. 2
   Условие \mathrm{НЕ}(x < 3) = \text{ложь} означает, что $x < 3$. Первое условие даёт $x \ne 2$.$$x < 3, \quad x \ne 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логическое высказывание с отрицанием

Напишите наибольшее натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: $\mathrm{НЕ}(x < 7) \ \mathrm{ИЛИ}\ (x < 6)$.

1. 1
   Высказывание с операцией «ИЛИ» ложно только в случае, когда оба входящих высказывания ложны.$$x < 7 \quad \text{и} \quad \mathrm{НЕ}(x < 6)$$
2. 2
   Условие ложности первого высказывания означает $x < 7$, а ложность второго — $x \geq 6$.$$6 \leq x < 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт натуральных чисел

Определите количество натуральных чисел $x$, для которых истинно логическое выражение: $\mathrm{НЕ}\bigl((x \ge 53) \ \mathrm{ИЛИ}\ (x < 29)\bigr)$.

1. 1
   По закону де Моргана преобразуем отрицание дизъюнкции:$$\mathrm{НЕ}(A \ \mathrm{ИЛИ}\ B) = (\mathrm{НЕ}\ A) \ \mathrm{И}\ (\mathrm{НЕ}\ B)$$
2. 2
   Получаем систему условий:$$x < 53 \quad \mathrm{И} \quad x \ge 29$$

Ещё 1 шаг — в полном решении