Стереометрия — 119 задач

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN = 3NS$. а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке. б)…

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB=2\sqrt{2}$, $BC=4$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}$, $AD=10$, $AA_1=16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=5:3$ и $B_1F:FB=5:11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $4\sqrt{3}$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$…

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 45^\circ$, $AB = 2\sqrt{3}$…

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ все рёбра равны, на ребре $AA_1$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=2MA_1$. Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ пополам. б) Найдите высоту призмы, если площадь…

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $CC_1 = 2$…

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны. Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB=12$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30^\circ$.

Точка $M$ — середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне основания $BC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA$. Плоскость $\alpha$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L$. Докажите, что $BN : NC = DL : LS$. Найдите…

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$, $AD=6$, $AA_1=10$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=3:2$ и $B_1F:FB=3:7$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$. б)…

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = 1$, $CC_1 = 2\sqrt{2}$. а)…

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=1:2$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:5$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=2$, $AD=6$, $AA_1=6$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB = 5$ и диагональю $BD = 9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF = BE = 4$. а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$. б) Плоскость…

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $1$ и $2$.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$. б) В каком…

В условии задачи на изображении не отображаются обозначения рёбер, точек, треугольников, прямой и плоскости: вместо них видны пустые места. Из-за этого невозможно однозначно восстановить постановку и решить задачу без риска выдумать исходные данные.

В основании прямой треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$, причём $AB=BC$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$.

В основании прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$…