Уравнения с параметрами — 62 задачи

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} (xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=3x+a \end{cases} \] имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=ax-10 \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases}x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x|\end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} |x|+|y|=a,\\ y=\sqrt{x+4} \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{7x-4}\cdot\ln\left(x^2-8x+17-a^2\right)=0$ имеет на отрезке $[0;4]$ ровно один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin{cases} ax \ge 2,\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\le 2a+11 \end{cases} $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$ имеет ровно три решения.

Найдите все значения $a$, при которых уравнение $(x + \ln(x + a))^2 = (x - \ln(x + a))^2$ имеет единственное решение на отрезке $[0; 1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x=-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система $$ \begin{cases} 2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1 \end{cases} $$ имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}$ на отрезке $[0;1]$ имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(5x - 2)\cdot\ln(x+a)=(5x-2)\cdot\ln(2x-a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{2x-1}\cdot\ln(4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot\ln(5x+a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{4x-1}\cdot\ln\left(x^2-2x+2-a^2\right)=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{2-3x}\cdot\ln(16x^2-a^2)=\sqrt{2-3x}\cdot\ln(4x+a)$ имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x+ay+a-2=0,\\ x|y|+x-2=0 \end{cases} $$ имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\left(3x+|x-a|+|2x+a+1|\right)^2-a\left(3x+|x-a|+|2x+a+1|\right)+a^2-16=0$ имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств \[ \begin{cases} a(x-1) \ge 4,\\ 2\sqrt{x-2} \ge a,\\ 3x < a+14 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x-2)a^2+(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0$ имеет ровно два различных корня.