Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Функции и графики» — с ответами

Абсцисса точки пересечения

На рисунке изображены графики функций $f(x)=ax^2+bx+c$ и $g(x)=kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

1. 1
   Приравниваем значения функций в точках пересечения:$$ax^2+bx+c=kx$$
2. 2
   Получаем квадратное уравнение относительно $x$. Его корни являются абсциссами точек $A$ и $B$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение функции по графику

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a\sqrt{x}$. Найдите значение $f(36)$.

1. 1
   По отмеченной на графике точке определяем коэффициент функции $f(x)=a\sqrt{x}$: $a=1$.$$f(x)=\sqrt{x}$$
2. 2
   Вычисляем значение функции при $x=36$.$$f(36)=\sqrt{36}=6$$

Значение функции по графику

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\dfrac{k}{x}$. Найдите значение $f(30)$.

1. 1
   Для функции $f(x)=\dfrac{k}{x}$ коэффициент $k$ находят по любой отмеченной на графике точке $(x_0; y_0)$:$$k=x_0y_0$$
2. 2
   Затем значение функции в точке $x=30$ вычисляют по формуле:$$f(30)=\dfrac{k}{30}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четыре корня уравнения

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $a^2-ax-2x^2-6a+3x+9|x|=0$ имеет четыре различных корня.

1. 1
   Разобьём уравнение на два случая в зависимости от знака $x$.$$x\geqslant 0:\quad 2x^2+(a-12)x-a(a-6)=0$$
2. 2
   При $x\geqslant 0$ рассмотрим квадратное уравнение. Чтобы оно имело два положительных корня, необходимо и достаточно, чтобы произведение корней было положительным, а сумма — положительной: $-a(a-6)>0$ и $12-a>0$. Эти условия дают $0<a<6$.

Ещё 6 шагов — в полном решении

Число корней уравнения

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $a^2+ax-2x^2-6a-3x+9|x|=0$ имеет меньше четырёх различных корней.

1. 1
   Рассмотрим случай $x\geqslant 0$. Тогда $|x|=x$, и уравнение принимает вид$$a^2+ax-2x^2-6a-3x+9=0$$
2. 2
   Сгруппируем слагаемые:$$-2x^2+(a-3)x+(a-3)^2=0$$

Ещё 6 шагов — в полном решении