Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Процентное увеличение посетителей

Число посетителей сайта увеличилось за месяц вдвое. На сколько процентов увеличилось число посетителей сайта за этот месяц?

1. 1
   Пусть первоначальное число посетителей равно $x$. После увеличения вдвое оно стало равно $2x$.
2. 2
   Найдём, какую долю от первоначального числа составляет прирост:$$\frac{2x-x}{x}=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт пути по скорости

Мотоциклист проехал 14 километров за 21 минуту. Сколько километров он проедет за 30 минут, если будет ехать с той же скоростью?

1. 1
   Найдём скорость мотоциклиста.$$v = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}\ \text{км/мин}$$
2. 2
   Вычислим расстояние, которое он проедет за 30 минут.$$s = vt = \dfrac{2}{3} \cdot 30 = 20\ \text{км}$$

Доля прибыли акционеров

Акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении 3:11 соответственно. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 42 млн рублей. Какая сумма…

1. 1
   Всего в отношении распределения прибыли $3+11=14$ частей. Частным акционерам принадлежит 11 частей.$$3+11=14$$
2. 2
   Находим сумму, которая должна пойти частным акционерам:$$42\cdot\frac{11}{14}=33$$

Расход чая на конференции

Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится 7 дней. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества таких пачек чая хватит на все дни конференции?

1. 1
   Найдём общее количество пакетиков чая, необходимое на конференцию:$$70 \cdot 7 = 490$$
2. 2
   В одной пачке 100 пакетиков, поэтому число пачек должно быть не меньше $4{,}9$. Так как пачки нельзя разделить, округляем вверх:$$\left\lceil \frac{490}{100} \right\rceil = 5$$

Покупка сырков на деньги

Сырок стоит 17 рублей. Какое наибольшее число сырков можно купить на 150 рублей?

1. 1
   Разделим имеющуюся сумму на стоимость одного сырка:$$150 : 17 = 8\ \text{(остаток 14)}$$
2. 2
   Целая часть частного показывает наибольшее число сырков, которое можно купить.

Максимальное число цветов

На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Хризантемы стоят 50 рублей за штуку. У Вани есть 510 рублей. Из какого наибольшего числа хризантем он может купить букет Маше на…

1. 1
   Определим максимальное количество хризантем, которое можно купить на 510 рублей.$$510 \div 50 = 10{,}2$$
2. 2
   Цветов должно быть целое нечётное число. Наибольшее нечётное число, не превышающее 10, — 9.

Букет из тюльпанов

На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на…

1. 1
   Определим максимальное количество тюльпанов по стоимости:$$\left\lfloor\dfrac{500}{30}\right\rfloor = 16$$
2. 2
   Число цветов должно быть нечётным. Наибольшее нечётное число, не превосходящее 16, — 15.$$15 \cdot 30 = 450 \leq 500$$

Прибыль по долям акций

Акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении 1 : 3 соответственно. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 24 млн рублей. Какая сумма…

1. 1
   Всего в отношении распределения прибыли четыре равные доли: $1+3=4$. Частным акционерам принадлежат три доли.$$1+3=4$$
2. 2
   Найдём сумму, которая должна пойти частным акционерам:$$24 \cdot \frac{3}{4}=18$$

Расчёт количества банок краски

Для покраски 1 кв. м потолка требуется 220 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 68 кв. м?

1. 1
   Найдём массу краски, необходимую для покраски всего потолка.$$68 \cdot 220 = 14960\ \text{г}$$
2. 2
   Переведём массу краски в килограммы.$$14960\ \text{г} = 14{,}96\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Покупка сырков на сумму

Сырок стоит 18 рублей. Какое наибольшее число сырков можно купить на 190 рублей?

1. 1
   Чтобы найти количество сырков, делим имеющуюся сумму на стоимость одного сырка.$$190 : 18 = 10\ остаток\ 10$$
2. 2
   Целая часть частного показывает наибольшее число сырков, которое можно купить.$$n = 10$$

Расчёт сдачи за клубнику

Килограмм клубники стоит 540 рублей. Миша купил 1 кг 600 г клубники. Сколько рублей сдачи он должен был получить с 1000 рублей?

1. 1
   Переведём массу клубники в килограммы:$$1\ \text{кг}\ 600\ \text{г} = 1{,}6\ \text{кг}$$
2. 2
   Найдём стоимость покупки:$$540 \cdot 1{,}6 = 864\ \text{руб.}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость букетов для учителей

Выпускники 11 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: из 5 роз каждому учителю и из 11 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 19 учителям (включая директора…

1. 1
   Букеты из 5 роз получат 19 - 2 = 17 учителей.$$19 - 2 = 17$$
2. 2
   Найдём общее количество роз во всех букетах.$$17 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 85 + 22 = 107$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Время в пути поезда

Поезд Новосибирск – Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время отправления и прибытия московское). Сколько часов согласно расписанию поезд находится в пути?

1. 1
   От времени отправления до полуночи поезд находится в пути $8$ часов $40$ минут.$$24\colon00 - 15\colon20 = 8\text{ ч }40\text{ мин}$$
2. 2
   От полуночи до времени прибытия проходит $4$ часа $20$ минут.$$4\colon20 - 0\colon00 = 4\text{ ч }20\text{ мин}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние по длине шага

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 50$…

1. 1
   Подставим в формулу количество шагов и длину одного шага.$$s = nl = 1300 \cdot 50 = 65000\ \text{см}$$
2. 2
   Переведём расстояние из сантиметров в метры.$$65000\ \text{см} : 100 = 650\ \text{м}$$

Голоса победителя по отношению

На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 96 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?

1. 1
   Сумма частей отношения равна $3+5=8$.
2. 2
   На одну часть приходится $96:8=12$ голосов.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт количества банок краски

Для покраски 1 кв. м потолка требуется 290 г краски. Краска продаётся в банках по 3 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно для покраски потолка площадью 36 кв. м?

1. 1
   Найдём массу краски, необходимую для покраски потолка площадью 36 кв. м.$$290 \cdot 36 = 10440\ \text{г}$$
2. 2
   Переведём массу одной банки в граммы: $3$ кг $= 3000$ г.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт объёма бензина

На автозаправке водитель отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 61 рубль за литр. Водитель получил 207 рублей сдачи. Сколько литров бензина было залито в бак?

1. 1
   Найдём стоимость залитого бензина:$$1000 - 207 = 793$$
2. 2
   Разделим стоимость бензина на цену одного литра:$$793 : 61 = 13$$

Шоколадки по акции

Шоколадка стоит 45 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за три шоколадки, покупатель получает четыре (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на…

1. 1
   Определим стоимость одного комплекта из четырёх шоколадок по акции: за четыре шоколадки нужно заплатить за три.$$3 \cdot 45 = 135$$
2. 2
   На 280 рублей можно приобрести два таких комплекта, поскольку стоимость двух комплектов не превышает имеющуюся сумму.$$2 \cdot 135 = 270 \leq 280$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Окупаемость счётчиков воды

Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2400 рублей. До установки счётчиков за воду платили 1500 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала…

1. 1
   Найдём ежемесячную экономию:$$1500 - 800 = 700$$
2. 2
   Экономия за $n$ месяцев должна превысить стоимость установки счётчиков:$$700n > 2400$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Стоимость букетов для учителей

Выпускники 11 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: по 5 роз каждому учителю и по 11 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 20 учителям, включая директора…

1. 1
   Директор и классный руководитель получают по 11 роз, а остальные 18 учителей — по 5 роз.$$20 - 2 = 18$$
2. 2
   Найдём общее количество роз.$$18 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 90 + 22 = 112$$

Ещё 1 шаг — в полном решении