Информатика ЕГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Длина числа не превышает 8 цифр. Поэтому вместо символа «*» может находиться от 0 до 3 цифр.

При отсутствии цифр или при одной-двух цифрах проверка остатков по модулю 133 не даёт допустимого значения вставки.

Обозначим через $S_i$ сумму первых $i$ элементов последовательности, причём $S_0 = 0$. Сумма элементов подпоследовательности от $l+1$ до $r$ равна $S_r - S_l$.

Эта сумма кратна $79$, если $S_r \bmod 79 = S_l \bmod 79$.

Изначально $A[2]=17$ и $s=0$. При $i=0$: $20 \geq 17$, поэтому к $s$ прибавляется $20-17=3$. После обмена $A[2]=20$.$$s=3$$

При $i=1$ условие не выполняется. При $i=2$: $A[2]=20 \geq A[2]=20$, добавляется $0$, массив не изменяется.

Начальный массив: $[6,9,7,2,1,5,0,3,4,8]$, значение $c=0$.

При $i=1$: $6<9$, происходит обмен, $c=1$. Массив: $[9,6,7,2,1,5,0,3,4,8]$.

Последовательно проверяем пары соседних элементов массива. При выполнении условия $A[i-1] < A[i]$ увеличиваем $c$ на 1 и меняем элементы местами.

При $i=1$ условие не выполняется: $10<4$ — қате.

Изначально $s=0$, $n=96$. На каждой итерации к $s$ прибавляется 10.

После 7 итераций $s=70$, условие $s<71$ ещё выполняется. После 8-й итерации $s=80$, и цикл завершается.

Обнуляем счётчик количества элементов, удовлетворяющих условию.$$j = 0$$

Просматриваем все элементы массива. Если элемент не меньше 1002 и делится на 3 без остатка, увеличиваем счётчик.$$a[i] \geq 1002 \land a[i] \bmod 3 = 0$$

Для каждого составного числа находим минимальный собственный делитель $p$. Максимальный собственный делитель равен $n / p$, поэтому $M = p + n/p$.$$M = p + \dfrac{n}{p}$$

Проверяем числа по возрастанию, начиная с $452\ 022$, и оставляем те, для которых $M \bmod 7 = 3$.

Обозначим длину строки с номером $n$ через $L_n$. Каждая строка, кроме первой, содержит две копии предыдущей строки и одну цифру номера строки.$$L_1=1,\quad L_n=2L_{n-1}+1$$

Получаем длины строк:$$L_1=1,\ L_2=3,\ L_3=7,\ L_4=15,\ L_5=31,\ L_6=63,\ L_7=127$$

Фиксированная часть маски имеет вид $3a12b14$, где $a$ и $b$ — цифры. Символ «*» может задавать от 0 до 3 цифр, поскольку число не превышает $10^{10}$.$$N=(3012014+100000a+1000b)\cdot10^k+s$$

Перебираем $a,b\in\{0,1,\ldots,9\}$, длину окончания $k\in\{0,1,2,3\}$ и все значения $s$ от $0$ до $10^k-1$. Оставляем только числа, для которых $N\bmod1917=0$.

Будем обрабатывать числа слева направо. Для каждого остатка $r$ по модулю $107$ будем хранить максимальное ранее встреченное число с этим остатком и его значение. Для фиксированного текущего числа $x$ сумма предыдущего числа и $x$ делится…$$a_i + x \equiv 0 \pmod{107}$$

Из-за условия $a_i > a_j$ нужно рассматривать только сохранённые значения, которые больше текущего $x$. Если такой кандидат найден, сумма является допустимой. Среди всех допустимых пар выбираем пару с максимальной суммой.

Проверяем значения $N$ от меньших к большим, пока результат не достигнет 76.

Для $N=9$ число не изменяется по правилу делимости: к записи $1001_2$ дописываются три последние цифры $001$. Получаем $1001001_2=73<76$.

Цикл выполняется для $i$ от $0$ до $9$, поэтому переменная $s$ получает сумму разностей соседних элементов массива.$$s=(A[0]-A[1])+(A[1]-A[2])+\dots+(A[9]-A[10])$$

Слагаемые с промежуточными элементами массива взаимно уничтожаются.$$s=A[0]-A[10]$$

Подбираем последовательность команд, начиная с числа 1.$$1 \xrightarrow{1} 4 \xrightarrow{2} 8$$

Продолжаем выполнение команд.$$8 \xrightarrow{1} 11 \xrightarrow{2} 22 \xrightarrow{2} 44 \xrightarrow{1} 47$$

Пустая последовательность вместо «*» даёт число 123678, но оно не делится на 13.

При одной цифре вместо «*» получаем числа $1230a678 = 1230678 + 1000a$, где $a$ принимает значения от 0 до 9. Так как $1000 \equiv -1 \pmod{13}$, условие делимости выполняется при $a = 7$. Получаем число 1237678.

Если $N$ не делится на 3 и имеет остаток 1, к двоичной записи дописывается число $3_{10}=11_2$. Поэтому результат равен $R=4N+3$.

Для получения значения, большего 151, в этом случае необходимо $4N+3>151$, то есть $N>37$. Ближайшее число, сравнимое с 1 по модулю 3, — $N=40$.

Проследим положение Робота по программе 3233241. После команд 3 и 2 он находится на клетке, смещённой на одну вправо и одну вниз от исходной.

Команды 3, 3, 2, 4, 1 перемещают Робота по уже пройденному маршруту и приводят его в клетку, достигнутую после первой команды 3.

В начале $c = 0$, а $A[0] = 3$. При $i = 1, 2, 3, 4, 5$ элементы равны 5, 4, 10, 8, 7 и не меньше 3, поэтому замены не происходит.

При $i = 6$: $A[6] = 1 < A[0] = 3$. Увеличиваем счётчик до 1 и меняем элементы местами. Теперь $A[0] = 1$.$$c = 1$$

Изначально $n=1$. На каждой итерации цикла значение $n$ умножается на $2$, поэтому после $k$ итераций $n=2^k$.$$2^k=64$$

Так как $64=2^6$, цикл должен выполниться ровно 6 раз.

Если $N$ делится на 3, приписываются три последние двоичные цифры. Тогда $R = 8N + (N \bmod 8)$. При условии $R \leq 162$ имеем $N \leq 20$.

Если $N \bmod 3 = 1$, к двоичной записи приписывается число $3 = 11_2$. Поэтому $R = 4N + 3$. Из условия $4N + 3 \leq 162$ следует $N \leq 39$. Наибольшее число, не делящееся на 3 и дающее максимальный результат, — $N = 37$.