Тапсырма 25 ЕГЭ по информатикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Пусть цифры вместо знаков «?» равны $a$ и $b$. Тогда число имеет вид$$N=123405708+100000a+10b$$

Найдём остатки слагаемых при делении на 19:$$123405708\equiv5,\quad 100000\equiv3,\quad 10\equiv10\pmod{19}$$

В начале $c=0$, а $A[0]=5$. При $i=1$: $A[1]=4<5$, поэтому $c=1$, после обмена $A[0]=4$.$$A[0]: 5\to4$$

При $i=2$: $A[2]=2<4$, поэтому $c=2$, после обмена $A[0]=2$.$$A[0]: 4\to2$$

В массиве из 20 элементов рассматриваются пары с индексами $(1,2), (2,3), \ldots, (19,20)$, поэтому достаточно перебрать первый индекс пары от 1 до $N-1$.$$i = 1, 2, \ldots, N-1$$

Число является чётным, если остаток от деления на 2 равен нулю. Для каждой пары проверяем чётность обоих элементов.$$a[i] \bmod 2 = 0 \land a[i+1] \bmod 2 = 0$$

Сначала обнуляем переменную j, которая будет хранить сумму подходящих элементов.$$j = 0$$

Просматриваем все элементы массива. Если элемент не меньше 99 и не кратен 4, добавляем его к сумме.$$a[i] \geq 99 \mathbin{\land} a[i] \bmod 4 \neq 0$$

Числа $N$ от $32$ до $63$ имеют шестизначную двоичную запись. Для нечётного числа к записи слева добавляется $1$, а справа — $01$.$$R = 2^{6+2} + 4N + 1 = 256 + 4N + 1$$

Требуется найти наименьшее нечётное $N$ в этом диапазоне, для которого $R > 441$.$$256 + 4N + 1 > 441$$

Так как число не превышает $10^8$, символ «*» может задавать только пустую последовательность или одну цифру.

Перебираем все числа вида $12ab15c6$, где $a$, $b$, $c$ — цифры, а также числа вида $12ab156$. Для каждого числа проверяем делимость на 273.

В начале работы программы $s = 0$, $n = 66$.

После каждого прохода цикла значение $s$ увеличивается на 8. Чтобы достичь значения не менее 71, потребуется 9 проходов: $8 \cdot 9 = 72$.

Изначально $A[9] = 3$, а $c = 0$. При $i=0$ значение $A[0]=2$ не больше 3, поэтому обмена нет.

При $i=1$: $A[1]=6 > 3$. Выполняется обмен, значение $A[9]$ становится равным 6, а $c=1$.

Пронумеруем показания начиная с нуля. Если последнее выбранное показание имеет индекс $i$, два предыдущих должны находиться среди позиций от $0$ до $i-K$.

Будем поддерживать для разрешённого префикса максимум одного числа $M_1$ и максимум произведения двух чисел $M_2$. При добавлении нового показания $a_i$ сначала добавляем в структуры число $a_{i-K}$ и обновляем $M_1$ и $M_2$.

При пустой последовательности вместо «*» получаем число $123467$. Оно не делится на 19.

При одной цифре вместо «*» число имеет вид $1234067+100x$, где $0\leq x\leq9$. По модулю 19: $1234067\equiv17$, $100\equiv5$, поэтому $17+5x\equiv0\pmod{19}$. Отсюда $x=8$, получаем число $1234867$.

Перебираем простые числа и оставляем только те, в десятичной жазбалар которых ровно одна цифра 7.

Проверяем произведения пар подходящих простых множителей, начиная с чисел, больших 1 481 011.$$1117 \cdot 1327 = 1482259$$

Сначала просматриваем все элементы массива и подсчитываем те, которые не меньше 1500 и являются чётными.$$a[i] \ge 1500 \land a[i] \bmod 2 = 0$$

После завершения подсчёта повторно просматриваем массив. Каждый подходящий элемент заменяем найденным количеством $k$.

Число с маской 1*23?9 имеет вид $A \cdot 10000 + 2309 + 10d$, где $d$ — последняя неизвестная цифра, а $A$ начинается с цифры 1.

Так как число не превышает $10^8$, длина последовательности вместо «*» может быть от 0 до 3 цифр. Для каждого варианта перебираем $d$ от 0 до 9 и проверяем делимость на 2023.

Так как число не превышает $10^{10}$, в маске 89*6?7?9? символ «*» может задавать от нуля до двух цифр.

Перебираем все числа, кратные 9874, в диапазоне от минимального числа, соответствующего маске, до $10^{10}$.

Обозначим через $E_i$ количество чётных цифр в $i$-й строке. При создании новой строки предыдущая строка записывается дважды, поэтому её вклад удваивается.

Приписанная цифра увеличивает количество чётных цифр на единицу только для чётных нөмір строк.

Если два показания имеют индексы $j$ и $i$, то условие задачи имеет вид $i-j \geq K$. При фиксированном $i$ выгодно выбрать среди допустимых предыдущих элементов максимальный.$$j \leq i-K$$

При последовательном чтении данных поддерживаем максимум всех элементов с индексами от $0$ до $i-K$. После обработки очередного элемента обновляем этот максимум и рассматриваем сумму с текущим значением.$$S_i=a_i+\max_{0\leq j\leq i-K}a_j$$

Проверим числа, близкие к $113$, в двоичной системе счисления. Для результата, полученного из нечётного $N$, двоичная запись должна иметь вид $1b00$.

Число $108$ представляется в виде $1101100_2$. Отделяем первую единицу и два последних нуля: получаем $b=1011_2=11_{10}$.

Начальное значение переменной $n$ равно 1, и на каждой итерации цикла оно увеличивается в 2 раза.$$n = 2^k$$

Чтобы программа вывела 64, цикл должен выполниться 6 раз.$$2^k = 64 = 2^6 \Rightarrow k = 6$$

Изначально массив имеет вид $[9,6,4,7,3,2,1,5,0,8]$, поэтому $A[9]=8$ и $c=0$.

При $i=0$: $9<8$ — неверно, обмена нет. При $i=1$: $6<8$ — верно, $c=1$, после обмена $A[9]=6$.

Перебираем числа $n$, начиная с $500001$, в порядке возрастания.$$n=500001,500002,\ldots$$

Для каждого $n$ перебираем делители $d$ от 2 до $\lfloor\sqrt n\rfloor$. При обнаружении делителя добавляем к сумме $d$ и парный делитель $n/d$, если они различны и не равны самому числу.$$R(n)=\sum_{d\mid n,\ 1<d<n}d$$