Решение: Числа по маске и делимость
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины, в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих $10^9$, найдите все числа, соответствующие маске 1234?57?8, делящиеся на число 19 без остатка.
Запишите найденные числа в порядке возрастания, а рядом с каждым числом — результат его деления на 19. Количество строк для ответа избыточно.
Решение по шагам
5 шаговПусть цифры вместо знаков «?» равны $a$ и $b$. Тогда число имеет вид
$$N=123405708+100000a+10b$$Найдём остатки слагаемых при делении на 19:
$$123405708\equiv5,\quad 100000\equiv3,\quad 10\equiv10\pmod{19}$$Условие делимости принимает вид
$$5+3a+10b\equiv0\pmod{19}$$Перебирая цифры $a$ и $b$ от 0 до 9, получаем допустимые пары $(a,b)=(0,9)$, $(1,3)$ и $(4,4)$.
Соответствующие числа и частные:
$$123405798\div19=6495042;\quad 123415738\div19=6500302;\quad 123445748\div19=6516092$$123405798 — 6495042; 123415738 — 6500302; 123445748 — 6516092
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Перепутать порядок цифр, соответствующих двум знакам «?».
Записать числа не в порядке возрастания.
Ошибиться при вычислении частного или проверить делимость только последней цифры.