Решение: Числовая маска и делимость
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой символ «?» означает ровно одну произвольную цифру, а символ «*» — любую последовательность цифр произвольной длины, включая пустую. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих $10^8$, найдите все числа, соответствующие маске 1234*67 и делящиеся на 19 без остатка. Запишите найденные числа в порядке возрастания, а рядом с каждым числом — результат его деления на 19. Количество строк для ответа избыточно.
Решение по шагам
4 шагаПри пустой последовательности вместо «*» получаем число $123467$. Оно не делится на 19.
При одной цифре вместо «*» число имеет вид $1234067+100x$, где $0\leq x\leq9$. По модулю 19: $1234067\equiv17$, $100\equiv5$, поэтому $17+5x\equiv0\pmod{19}$. Отсюда $x=8$, получаем число $1234867$.
При двух цифрах вместо «*» число имеет вид $12340067+100x$, где $0\leq x\leq99$. По модулю 19: $12340067\equiv4$, поэтому $4+5x\equiv0\pmod{19}$. Подходящие значения: $x=03,22,41,60,79,98$.
Получаем числа $12340367$, $12342267$, $12344167$, $12346067$, $12347967$, $12349867$ и $1234867$. После упорядочивания и деления на 19 получаем требуемые пары.
12340367 649493; 12342267 649593; 12344167 649693; 12346067 649793; 12347967 649893; 1234867 64993; 12349867 649993
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учесть пустую последовательность, задаваемую символом «*».
Не рассмотреть вариант с одной цифрой между 1234 и 67.
Записать числа не в порядке возрастания.
Перепутать результат деления с остатком.