Напишите натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: $(x < 8)$ или НЕ $(x < 9)$.
- 1
Высказывание, соединённое операцией «ИЛИ», ложно только при ложности обеих частей.$$x < 8 = \text{ложь}, \quad \mathrm{НЕ}(x < 9) = \text{ложь}$$
- 2
Из ложности первого неравенства следует $x \geq 8$. Чтобы отрицание второго высказывания было ложным, само неравенство должно быть истинным: $x < 9$.$$x \geq 8, \quad x < 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наибольшее двузначное число, меньшее 75, для которого истинно высказывание: «Сумма цифр нечётная» И НЕ («Число чётное»).
- 1
Высказывание НЕ («Число чётное») истинно тогда и только тогда, когда число нечётное.$$НЕ(\text{чётное}) = \text{нечётное}$$
- 2
Проверим наибольшие двузначные числа, меньшие 75. Число 73 нечётное, но сумма его цифр равна $7 + 3 = 10$, то есть чётная.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Определите количество натуральных трёхзначных чисел $x$, для которых истинно логическое выражение: $(x\text{ оканчивается на }7)\text{ И НЕ }(x>119)$.
- 1
Отрицание условия $x>119$ означает, что число должно удовлетворять неравенству $x\leq119$.$$\neg(x>119)\Leftrightarrow x\leq119$$
- 2
С учётом того, что $x$ — трёхзначное натуральное число, получаем диапазон $100\leq x\leq119$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наибольшее натуральное число $x$, для которого истинно высказывание: НЕ $(x < 5)$ И $(x < 6)$.
- 1
Преобразуем первое условие: отрицание высказывания $x < 5$ означает $x \geq 5$.$$\neg(x < 5) \Longleftrightarrow x \geq 5$$
- 2
Так как условия соединены операцией И, они должны выполняться одновременно:$$x \geq 5 \text{ и } x < 6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Определите наибольшее натуральное число $x$, для которого истинно логическое выражение: $\mathrm{НЕ}\ ((x \geq 23) \ \mathrm{ИЛИ}\ (x < 18))$.
- 1
Обозначим $A: x \geq 23$, $B: x < 18$. По закону де Моргана отрицание дизъюнкции заменяется конъюнкцией отрицаний.$$\mathrm{НЕ}(A \ \mathrm{ИЛИ}\ B) = (\mathrm{НЕ}\ A) \ \mathrm{И}\ (\mathrm{НЕ}\ B)$$
- 2
Отрицание условия $x \geq 23$ даёт $x < 23$, а отрицание условия $x < 18$ даёт $x \geq 18$.$$x < 23 \ \mathrm{И}\ x \geq 18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого истинно высказывание: $(x > 2)$ И НЕ $(x > 3)$.
- 1
Отрицание высказывания $(x > 3)$ означает условие $x \leq 3$.$$\neg(x > 3) \Leftrightarrow x \leq 3$$
- 2
Оба условия должны выполняться одновременно:$$x > 2 \ \text{и}\ x \leq 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Дано четыре числа: 54324, 4597, 46, 25. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание: $\mathrm{НЕ}(\text{Число} < 100) \text{ И } \mathrm{НЕ}(\text{Число чётное})$?
- 1
Условие $\mathrm{НЕ}(\text{Число} < 100)$ означает, что число должно быть не меньше 100.
- 2
Условие $\mathrm{НЕ}(\text{Число чётное})$ означает, что число должно быть нечётным.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наименьшее трёхзначное число, большее 121, для которого ложно высказывание: НЕ (Число > 50) ИЛИ (Число чётное).
- 1
Высказывание с операцией «ИЛИ» ложно только при ложности обеих частей.$$A \lor B = 0 \iff A = 0 \text{ и } B = 0$$
- 2
Часть НЕ (Число > 50) ложна, если число больше 50. Часть «Число чётное» ложна, если число нечётное.$$x > 50 \text{ и } x \text{ нечётное}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наибольшее натуральное число $x$, для которого истинно высказывание: $(x < 5)$ ИЛИ НЕ $(x > 3)$.
- 1
Преобразуем отрицание второго условия:$$\mathrm{НЕ}(x > 3) \equiv x \leq 3$$
- 2
Исходное высказывание истинно, если выполняется хотя бы одно из условий $x < 5$ или $x \leq 3$. Условие $x \leq 3$ входит в условие $x < 5$, поэтому в целом получаем $x < 5$.$$(x < 5) \lor (x \leq 3) \equiv x < 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите количество натуральных чисел, для которых истинно высказывание: НЕ (Число > 13) И НЕ (Число чётное).
- 1
Условие НЕ (Число > 13) означает, что число меньше или равно 13.$$x \leq 13$$
- 2
Условие НЕ (Число чётное) означает, что число нечётное.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наибольшее натуральное число $x$, для которого истинно высказывание: $(x < 8)$ И НЕ $(x < 7)$.
- 1
Первое условие задаёт ограничение $x < 8$.
- 2
Отрицание условия $(x < 7)$ означает $x \geq 7$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наибольшее трёхзначное число $x$, для которого истинно высказывание: НЕ (первая цифра нечётная) И НЕ ($x$ делится на 3).
- 1
По закону де Моргана условие НЕ (первая цифра нечётная) означает, что первая цифра числа должна быть чётной.
- 2
Наибольшие трёхзначные числа с чётной первой цифрой начинаются с цифры 8. Наибольшее такое число — $899$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Дано четыре числа: 648, 452, 357, 123. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание: «Первая цифра чётная» И НЕ «Сумма цифр чётная»?
- 1
Проверим число 648: первая цифра чётная, но сумма цифр равна $6 + 4 + 8 = 18$, то есть чётная. Высказывание ложно.
- 2
Для числа 452 первая цифра 4 чётная, а сумма цифр равна $4 + 5 + 2 = 11$, то есть нечётная. Поэтому «НЕ сумма цифр чётная» истинно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите количество натуральных чисел, для которых истинно высказывание: НЕ (Число нечётное) И НЕ (Число > 14).
- 1
Условие НЕ (Число нечётное) выполняется для чётных чисел.
- 2
Условие НЕ (Число > 14) означает, что число не превышает 14, то есть число должно быть не больше 14.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите количество натуральных двузначных чисел, для которых истинно высказывание: НЕ (Число < 88) И НЕ (Число нечётное).
- 1
Отрицание высказывания «Число < 88» означает, что число не меньше 88.$$x \geq 88$$
- 2
Отрицание высказывания «Число нечётное» означает, что число чётное.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Определите количество натуральных двузначных чисел $x$, для которых истинно логическое выражение: НЕ ($x$ нечётное) И НЕ ($x > 51$).
- 1
Условие НЕ ($x$ нечётное) означает, что число $x$ чётное.
- 2
Условие НЕ ($x > 51$) означает, что $x \leq 51$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Напишите наибольшее трёхзначное число $x$, для которого истинно высказывание: НЕ (первая цифра чётная) И ($x$ делится на 3).
- 1
Условие НЕ (первая цифра чётная) означает, что первая цифра числа должна быть нечётной.$$\neg(\text{первая цифра чётная}) \Rightarrow \text{первая цифра нечётная}$$
- 2
Искомое число должно быть трёхзначным, иметь нечётную первую цифру и делиться на 3.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наибольшее трёхзначное число, меньшее 124, для которого истинно высказывание: (Сумма цифр кратна 5) И НЕ (Число чётное).
- 1
Наибольшие трёхзначные числа, меньшие 124, начинаются с 123 и далее уменьшаются. Из-за условия НЕ (Число чётное) подходит только нечётное число.
- 2
Проверим число 113: оно нечётное, а сумма его цифр равна $1+1+3=5$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Напишите наименьшее натуральное число $x$, для которого ложно высказывание: $(x > 3) \text{ ИЛИ НЕ } ((x < 4) \text{ И } (x > 2))$.
- 1
Высказывание является дизъюнкцией. Чтобы оно было ложным, первое высказывание должно быть ложным: $x > 3$ — ложь, значит $x \leq 3$.$$x \leq 3$$
- 2
Второе слагаемое содержит отрицание. Чтобы выражение $\text{НЕ}((x < 4) \text{ И } (x > 2))$ было ложным, выражение в скобках должно быть истинным.$$x < 4 \text{ и } x > 2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Дано четыре числа: 54321, 45980, 125, 24. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание: НЕ (Число > 10000) И (Число нечётное)? В ответе запишите это число.
- 1
Операция НЕ (Число > 10000) истинна для чисел, которые не превышают 10000.$$\neg(\text{Число} > 10000) \Leftrightarrow \text{Число} \leq 10000$$
- 2
Проверим числа: 54321 больше 10000, 45980 больше 10000, 24 чётное. Число 125 не превышает 10000 и является нечётным.$$\neg(125 > 10000) \land (125\text{ нечётное}) = \text{истина}$$