Задание 15 ЕГЭ по профильной математике — 66 задач

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5\sqrt{2}$. На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA = DN:NC = 2:3$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны. Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB = 8$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $45^\circ$.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно [значение не распознано]. На рёбрах [обозначения рёбер не распознаны] отмечены точки [обозначения точек не распознаны] соответственно, причём [условия деления рёбер не распознаны].

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M=2MA$, $A_1K=KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$. б) Найдите…

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$. б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от…

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 6\sqrt{2}$. На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA = DN:NC = 1:2$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K$. Докажите, что $K$ — середина ребра $SD$. Найдите объём пирамиды $SABCD$, если $AB=24$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью…

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны $4$. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O$, пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN:ND=1:3$. а) Докажите…

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R$. Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $BL = 3LC$. а) Докажите, что отрезки $MK$ и $NL$…

В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны $6$. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM = AK = 4$. а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $5:4$. б) Найдите косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $CMK$.

Различные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$, причём отрезок $AB$ является диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$. Докажите, что $\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = 1{,}5$. Найдите объём тетраэдра $SABC$, если $SC = 1$ и…

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ все рёбра равны $4$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$. Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией, и найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$.

На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=2:1$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на…

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB=2$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_1$. а) Докажите, что сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью…

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. б) Найдите угол…

На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L$, $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L$, $M$, $N$, делит ребро $CD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$. б) Найдите площадь сечения тетраэдра…

В основании прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$. Докажите, что плоскость $\alpha$…

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $4$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна…

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб. а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 10$, $AB = 12$.