Задание 15 ЕГЭ по профильной математике — 66 задач

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости . б) Найдите объём пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1$, а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}$. а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$. б) Найдите длину отрезка, по которому…

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:2$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$. б) Найдите площадь…

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 9. Точка лежит на ребре, а точка лежит на ребре. Известно, что. а) Докажите, что одна плоскость перпендикулярна другой плоскости. б) Найдите площадь треугольника.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная этой диагонали. $AB=5$, $BC=3$, $AA_1=4$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$. б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$. а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$. б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если…

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$. б) Найдите высоту пирамиды, если $AB = 12$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. б) Найдите объём…

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:2$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна…

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $5$. Боковое ребро пирамиды равно $9$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:2$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью…

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ — ромб. а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1$. б) Найдите высоту призмы…

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб. Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.

Точка $M$ — середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN:NB=1:2$. Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$, и найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны $6$.

На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно. а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$…

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $6$. Боковое ребро пирамиды равно $5$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=2:1$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью…

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$. Найдите высоту пирамиды, если $AB=24$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30^\circ$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABMN$, где точки $M$ и $N$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB = BM = AN = 5MN$. а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в…

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и . а) Докажите, что плоскость содержит точку . б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. б) Найдите…