Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход можно добавить 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в два раза. Игра заканчивается, когда в куче становится не менее 31…
- 1
Петя не может выиграть первым ходом, если после прибавления 1 или 4, а также после удвоения количество камней меньше 31. Для $S \le 15$ это условие выполняется.
- 2
Ваня может выиграть одним ходом из любой позиции с количеством камней не менее 16: достаточно удвоить количество камней, поскольку $2 \cdot 16 = 32 \ge 31$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 2 камня, убрать из кучи 4…
- 1
Петя выигрывает за один ход, если после одного из его ходов в куче останется не более 23 камней. Для деления на 4 это выполняется при $\lfloor S/4 \rfloor \le 23$, то есть при $S \le 95$. Поэтому минимальное значение, при котором Петя уже…$$\left\lfloor \frac{S}{4} \right\rfloor \le 23 \text{ при } S \le 95$$
- 2
Проверим значение $S=96$. После ходов Пети возможны кучи из $94$, $92$ и $24$ камней.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 3 камня, убрать из кучи 7…
- 1
После хода Пети количество камней должно оставаться больше 15, иначе Петя сразу выиграет.$$S-3>15,\quad S-7>15,\quad \left\lfloor S/4 \right\rfloor>15$$
- 2
Наиболее строгое условие задаёт деление на 4: результат должен быть не меньше 16.$$\left\lfloor S/4 \right\rfloor\ge 16 \Rightarrow S\ge 64$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в куче в 3 раза. Игра завершается, когда количество…
- 1
Чтобы Петя не смог выиграть за один ход, ни один из возможных результатов его хода не должен достигать 97.$$S+1<97,\quad S+4<97,\quad 3S<97$$
- 2
Наиболее сильное ограничение даёт неравенство $3S<97$, откуда $S\leq 32$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня…
- 1
Петя не должен иметь возможности выиграть первым ходом. Поэтому после любого его хода количество камней должно быть меньше 51: $S+1<51$, $S+4<51$ и $2S<51$. В частности, $S\leq 25$.
- 2
Чтобы Ваня мог выиграть своим первым ходом после любого хода Пети, каждая из позиций $S+1$, $S+4$ и $2S$ должна позволять сделать ход, после которого камней станет не менее 51.
Ещё 2 шага — в полном решении
В программе используется одномерный целочисленный массив $A$ с индексами от 0 до 11. Значения элементов массива $A[i]$ приведены в таблице. Определите значение переменной $s$ после выполнения…
- 1
Изначально $s=0$, $A[1]=13$. При $i=0$ условие выполняется: $14>13$, поэтому $s=0+14+0=14$.
- 2
При $i=1$ условие $13>13$ ложно, поэтому $A[1]$ остаётся равным 13. При $i=2$ условие выполняется: $15>13$, получаем $s=14+15+2=31$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Игра завершается, когда количество…
- 1
Петя не должен выигрывать первым ходом, поэтому после каждого его возможного хода количество камней должно быть меньше 435. В частности, при $S=217$ это выполняется: $218$, $220$ и $434$.
- 2
Чтобы Ваня мог выиграть одним ходом из позиции $x$, достаточно, чтобы $2x \geq 435$, либо чтобы $x+3 \geq 435$, либо чтобы $x+1 \geq 435$. Наименьшая подходящая позиция — $x=218$, так как $2 \cdot 218=436$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня…
- 1
Петя не должен получить не менее 58 камней после своего первого хода. Поэтому проверяем все возможные ходы:$$S+1<58,\quad S+4<58,\quad 3S<58$$
- 2
Наиболее сильное ограничение даёт умножение количества камней на три: $3S<58$, откуда $S\leq 19$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в куче в 3 раза. Игра завершается, когда количество…
- 1
Чтобы Петя не смог выиграть за один ход, ни один из возможных результатов его хода не должен быть не менее 82.$$S+1<82,\quad S+4<82,\quad 3S<82$$
- 2
Наиболее ограничивающим является условие $3S<82$, откуда $S\leq 27$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В программе используется одномерный целочисленный массив $A$ с индексами от 0 до 11. Значения элементов массива приведены в таблице. Определите значение переменной $s$ после выполнения фрагмента…
- 1
Изначально $s = 0$, $A[0] = 14$. Переменная $n$ равна 0, поэтому сравнение выполняется с $A[0]$.
- 2
Для каждого $i$ от 1 до 11 проверяем условие $A[i] < A[0] \cdot i$. Оно выполняется на всех итерациях: например, при $i=1$ имеем $13 < 14$, а при $i=11$ — $9 < 154$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 4 камня или…
- 1
Из начальной позиции $(17, S)$ Петя может получить позиции $(21, S)$, $(17, S+4)$, $(34, S)$ или $(17, 2S)$.
- 2
Проверим, при каком минимальном $S$ после одного из этих ходов Ваня сможет сразу закончить игру. Наиболее выгодный вариант — Петя удваивает вторую кучу, после чего Ваня также удваивает её.$$17 + 2S \xrightarrow{\text{удвоение второй кучи}} 17 + 4S$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Первый ход делает Петя. Игра…
- 1
Петя не должен иметь возможности выиграть сразу. Поэтому после любого его хода количество камней должно оставаться меньше 443.
- 2
Рассмотрим значение $S = 221$. Возможные ходы Пети приводят к позициям:$$221+1=222,\quad 221+3=224,\quad 221\cdot 2=442$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в куче в 3 раза. Первый ход делает Петя. Игра…
- 1
Петя не должен иметь возможности закончить игру одним ходом. Поэтому должны выполняться условия $S+1<43$, $S+4<43$ и $3S<43$. Наиболее сильное из них даёт $S \leq 14$.
- 2
Проверим значение $S=14$. После ходов Пети количество камней может стать равным 15, 18 или 42.
Ещё 2 шага — в полном решении
В программе используется одномерный целочисленный массив $A$ с индексами от 0 до 9. Значения элементов равны 3, 8, 4, 7, 5, 1, 0, 2, 9, 6 соответственно, то есть $A[0] = 3$, $A[1] = 8$ и т. д…
- 1
Начальное значение массива: $[3, 8, 4, 7, 5, 1, 0, 2, 9, 6]$, а $c = 0$.
- 2
При $i = 0$ условие $3 > 8$ ложно, обмена нет.
Ещё 3 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Первый ход делает Петя…
- 1
Петя может первым ходом удвоить количество камней во второй куче. Тогда после его хода в кучах будет $7$ и $2S$ камней. Этот ход должен быть неудачным, то есть сумма должна оставаться меньше 81.$$7 + 2S < 81$$
- 2
Ваня своим первым ходом может снова удвоить вторую кучу. После этого суммарное количество камней станет не менее 81.$$7 + 4S \geq 81$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч по своему…
- 1
Петя может сделать первый ход, увеличив количество камней во второй куче в три раза. После этого получится позиция $(6,3S)$, а сумма камней равна $6+3S$.
- 2
Этот ход Пети не является победным при минимальном найденном значении $S$, поскольку $6+3S<65$.
Ещё 3 шага — в полном решении
В программе используется одномерный целочисленный массив $A$ с индексами от $0$ до $11$. Значения элементов массива приведены в таблице. Определите значение переменной $s$ после выполнения фрагмента…
- 1
Изначально $A[2] = 15$ и $s = 0$. При обработке индексов $0$, $1$, $3$ и $4$ условие не выполняется, поэтому значение $A[2]$ последовательно изменяется: $15 \to 14 \to 13 \to 8 \to 4$.$$A[2] = 4$$
- 2
При $i = 5$ имеем $A[5] = 12 > 4$, поэтому к сумме прибавляется $12 + 5 = 17$.$$s = 17$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 1 камень или…
- 1
Петя может первым ходом увеличить вторую кучу в 3 раза. После этого получится позиция $(15, 3S)$.
- 2
При $S < 16$ даже утроение второй кучи Ваней не даёт нужной суммы: при $S = 15$ сумма равна $15 + 9 \cdot 15 = 150 < 155$.
Ещё 3 шага — в полном решении
В программе используется одномерный целочисленный массив $A$ с индексами от 0 до 11. Значения элементов массива $A[i]$ приведены в таблице. Определите значение переменной $s$ после выполнения…
- 1
Изначально $s = 0$, $A[2] = 15$. При обработке индексов от 0 до 4 значения массива уменьшают $A[2]$: после этих шагов $A[2] = 4$, сумма остаётся равной нулю.$$15 \to 14 \to 13 \to 13 \to 8 \to 4$$
- 2
Для $i = 5$ выполняется условие $A[5] > A[2]$, поэтому к сумме добавляется 12. Для следующих индексов 6–9 также выполняется условие, и добавляются значения 30, 21, 22 и 16.$$s = 12 + 30 + 21 + 22 + 16 = 101$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: Петя не может выиграть за один ход…
- 1
В приведённом фрагменте есть только вопрос к игре, но нет правил: не указаны начальная позиция, допустимые ходы и условие окончания игры.
- 2
Без этих данных невозможно построить дерево игры и определить значения $S$, для которых Петя выигрывает вторым ходом независимо от стратегии Вани.