Решение: Игра с двумя кучами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч по своему выбору один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую позицию, при которой в кучах находится 65 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 6 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \le S \le 58$.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.
Решение по шагам
5 шаговПетя может сделать первый ход, увеличив количество камней во второй куче в три раза. После этого получится позиция $(6,3S)$, а сумма камней равна $6+3S$.
Этот ход Пети не является победным при минимальном найденном значении $S$, поскольку $6+3S<65$.
Ваня своим первым ходом также увеличивает вторую кучу в три раза. После этого суммарное количество камней станет $6+9S$.
Для победы Вани необходимо $6+9S\ge65$. Следовательно, $9S\ge59$, поэтому $S\ge\frac{59}{9}$ и минимальное целое значение $S$ равно 7.
При $S=7$ после хода Пети в кучах будет $(6,21)$, а после хода Вани — $(6,63)$; суммарно 69 камней, поэтому Ваня выигрывает своим первым ходом. При меньших значениях $S$ этот вариант не приводит к победе Вани.
Где здесь ошибаются
Считать, что увеличение кучи в три раза добавляет только количество камней исходной кучи.
Проверять только начальную сумму, не учитывая последовательность ходов.
Забыть, что требуется минимальное целое значение $S$.