Решение: Выигрышный ход в игре
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Первый ход делает Петя.
Игра завершается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход.
В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — $S$ камней, где $1 \leq S \leq 73$. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.
Решение по шагам
3 шагаПетя может первым ходом удвоить количество камней во второй куче. Тогда после его хода в кучах будет $7$ и $2S$ камней. Этот ход должен быть неудачным, то есть сумма должна оставаться меньше 81.
$$7 + 2S < 81$$Ваня своим первым ходом может снова удвоить вторую кучу. После этого суммарное количество камней станет не менее 81.
$$7 + 4S \geq 81$$Решаем неравенство: $4S \geq 74$, поэтому $S \geq 18{,}5$. Минимальное целое значение — $S = 19$. При этом после хода Пети сумма равна $7 + 38 = 45 < 81$, а после хода Вани — $7 + 76 = 83$.
Где здесь ошибаются
При последовательном удвоении второй кучи используют выражение $7 + 2S$ вместо $7 + 4S$.
Забывают проверить, что первый ход Пети не должен завершать игру.