Информатика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Импликация $\mathrm{ДЕЛ}(x,2) \to \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,3)$ ложна только тогда, когда $x$ делится на $2$ и одновременно делится на $3$.

Следовательно, первая часть формулы впервые становится ложной при наименьшем натуральном $x = 6$.

Во всех трёх строках значение функции равно $0$, поэтому каждое слагаемое выражения $(x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w$ должно быть равно $0$.

Во второй и третьей строках второй и четвёртый столбцы постоянны и равны $1$, а третий столбец меняется с $0$ на $1$. При $w=1$ значение $\neg w$ равно $0$. Чтобы выражение оставалось равным $0$, вторая и третья строки должны отличаться…

Рассмотрим первую строку. В ней значения столбцов имеют вид $0,\,\_,\,0,\,1$, а значение функции равно 0. Единственное соответствующее распределение даёт первый столбец $z$, второй $y$, третий $x$, четвёртый $w$.

Проверим полученное соответствие по второй строке: значения переменных равны $z=1$, $y=0$, $x=0$, $w=1$. Тогда $(\neg x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w = (1 \land 1) \lor 0 \lor 0 = 1$, поэтому для нулевого результата вторая и…

Если $x_i \land y_j=1$, то обе импликации должны быть истинными, поэтому $x_{i+1}=1$ и $y_{j+1}=1$.

Рассмотрим случай, когда среди $x_1,\ldots,x_9$ нет единиц. Тогда первые девять значений $x$ равны нулю, а $x_{10}$ выбирается двумя способами. Последовательность $y$ произвольна: $2\cdot 2^5=64$ наборов.

Рассматриваем все перестановки переменных $w$, $x$, $y$, $z$ по четырём столбцам и проверяем каждую перестановку по трём строкам таблицы.$$F=(y\land\neg x)\lor(x\equiv z)\lor\neg w$$

Единственная перестановка, при которой значение функции равно нулю во всех трёх заданных строках, — $y$, $z$, $x$, $w$.

Функция $F$ ложна, если одновременно $x \to y = 0$ и $\neg(w \to z) = 0$.

Импликация $x \to y$ ложна только при $x = 1$ и $y = 0$. Поэтому столбец с постоянными единицами — это $x$, а столбец с постоянными нулями — $y$.

Если $x \notin D$, внешняя импликация истинна автоматически. Поэтому достаточно рассмотреть $x \in D$.$$x \in D \Rightarrow \neg(x \in C) \land \neg(x \in A) \text{ должно быть ложно}$$

Следовательно, для каждой точки отрезка $D$ должно выполняться $x \in C$ или $x \in A$, то есть $D \subseteq C \cup A$.

Обозначим пару $(x_i,y_i)$ состоянием. Всего возможны четыре состояния: $(0,0)$ и три ненулевых состояния.

Если текущая пара ненулевая, то $x_i \lor y_i=1$. Правая часть следующего равенства должна быть равна 1, поэтому следующая пара единственным образом равна $(0,0)$.

Рассмотрим третью строку: значения в четырёх неизвестных столбцах равны $1,0,1,1$, а значение функции равно 0.

Чтобы выражение $F=(\neg x\land\neg y)\lor(x\equiv z)\lor\neg w$ было равно нулю, необходимо, чтобы $w=1$, $x=1$, $y=1$, $z=0$.

Во всех указанных строках значение функции равно 0. Дизъюнкция равна нулю только тогда, когда каждый её член равен нулю:$$(\neg x \land \neg y)=0,\quad y\equiv z=0,\quad \neg w=0$$

Из условия $\neg w=0$ получаем $w=1$. В четвёртом столбце в первых двух строках стоит 1, поэтому четвёртый столбец соответствует $w$.

Введём обозначения $a_i = x_i \lor y_i$. Каждое условие имеет вид $a_i \to a_{i+1} = 1$ и запрещает только случай $a_i = 1$, $a_{i+1} = 0$.$$a_i \leq a_{i+1}$$

Следовательно, допустимая последовательность $a_1, \ldots, a_6$ имеет вид: сначала нули, затем единицы. Возможны $0, 1, \ldots, 6$ единиц.

При последовательном просмотре файла проверяем каждую пару соседних символов.

Если оба символа входят в множество {Q, R, S}, текущая последовательность заканчивается. Для текущего символа начинаем новую последовательность.

Из чисел 18, 15, 6 и 10 делятся на 5 числа 15 и 10. Поэтому переменная count получает значение 2.$$count = 2$$

При обработке числа 15 условие x > minimum выполняется: 15 > 0, поэтому minimum становится равным 15. При обработке числа 10 условие 10 > 15 ложно, поэтому minimum остаётся равным 15.$$minimum = 15$$

Разобьём символы на две группы: согласные $B$, $C$, $D$ и гласные $A$, $E$.

Последовательно просматриваем файл. Если два соседних символа образуют пару «согласная + гласная», увеличиваем длину текущей серии и переходим к символу после пары.$$current = current + 1$$

Из последовательности 2 19 24 3 числа 2 и 19 не делятся на 3, поэтому count станет равным 2. Числа 24 и 3 делятся на 3.

Переменная minimum изначально равна 1. Для числа 2 условие x < minimum ложно, поэтому значение minimum не изменяется. Для числа 19 условие также ложно. Программа выводит количество 2 и значение minimum 1.$$2\newline1$$

При вводе 241 цифры извлекаются справа налево: 1, 4, 2. При текущем условии программа прибавляет к R все цифры, не равные 4.$$R = 1 + 2 = 3$$

Следовательно, при вводе числа 241 программа выведет 3.

При вводе $N = 49$ начальные значения: $n = 49$, $k = 0$. Условие цикла истинно, так как $0 \bmod 7 = 0$.

После первой итерации получаем $k = 1$ и $n = 49 // 7 = 7$. Условие цикла становится ложным, так как $1 \bmod 7 \ne 0$.

Сначала считываем строку из файла и для каждой позиции $i$ проверяем условие: символ в позиции $i$ равен $A$, а следующий символ равен $B$.

Строим префиксные суммы количества вхождений $AB$. Тогда число таких пар на отрезке с границами $l$ и $r$ вычисляется за постоянное время.

При вводе числа 507 программа последовательно рассматривает цифры 7, 0 и 5. Цифра 7 не подходит, цифра 0 подходит, но не превосходит начальное значение maxDigit = 0, а цифра 5 не подходит.$$maxDigit = 0$$

После завершения цикла проверяется условие maxDigit > 0. Оно ложно, поэтому программа выводит строку NO.$$507 \rightarrow \text{NO}$$

Считываем строку из файла и перебираем её символы справа налево, поддерживая границы текущего окна.

При добавлении символа $Z$ увеличиваем счётчик символов $Z$ в окне.