Математика, профиль ЕГЭ — 1 108 задач

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} x^4+y^2=a^2,\\ x^2+y=|2a-4| \end{cases} \] имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\ y=x+a \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения: $\begin{cases}4x-y+a=0,\\2|y|-x^2+4x=0.\end{cases}$

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^4-x^3-3x^2-x+a(x+1)=3x^3-3x^2-9x-3+3a(x+1)$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x-1)a^2-(x^3-2x^2+3x-2)a-x^4+3x^3-2x^2=0$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу). а) Может…

Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн? б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны? в) Все камни хотят разложить…

Из пары натуральных чисел, где, за один ход получают пару. а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару? в) Какое наименьшее может быть в паре, из которой за несколько ходов можно получить пару?

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3a+b; 3b-a)$. а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$? б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью…

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314? в) Найдите наибольшее отношение получившегося…

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму $136$: $111+11+1+1+1+1+1+1+1$. а) Можно ли получить сумму $132$, если $n=10$? б) Можно ли получить сумму $132$, если $n=15$? в) Для скольких…

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351? б) Может ли отношение двух…

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001…

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом…

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе № 1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест…

Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A=123$ и $B=579$ получается $S=1\cdot5+2\cdot7+3\cdot9=46$. а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S=200$? б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B$…

На доске написано $5$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136 = 111 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1$.