Информатика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Сначала выбираем любой элемент, не делящийся на 6, в качестве начального минимума. Затем просматриваем массив и обновляем минимум при нахождении меньшего подходящего элемента.$$a[i] \bmod 6 \ne 0$$

После нахождения минимума ещё раз просматриваем массив. Каждый элемент, не делящийся на 6, заменяем найденным минимумом и выводим.$$a[i] := j \text{ при } a[i] \bmod 6 \ne 0$$

Так как искомые числа оканчиваются цифрами 57, для частного $q$ должно выполняться сравнение $2023q \equiv 57 \pmod{100}$.$$23q \equiv 57 \pmod{100}$$

Обратный к 23 по модулю 100 элемент равен 87, поэтому $q \equiv 57 \cdot 87 \equiv 59 \pmod{100}$.

Изначально $s = 245$, условие цикла истинно. На каждой итерации значение $s$ уменьшается на 10.$$s_k = 245 - 10k$$

Цикл продолжается, пока значение $s$ перед очередной итерацией положительно. После 24 итераций $s = 245 - 10 \cdot 24 = 5$, а после 25-й итерации $s = -5$.$$245 - 10 \cdot 24 = 5,\quad 245 - 10 \cdot 25 = -5$$

Для каждого чётного числа $n > 900000$ минимальный нетривиальный делитель равен 2, а максимальный равен $n/2$.$$M = 2 + \frac{n}{2}$$

Чтобы $M$ оканчивалось на 8, число $n/2$ должно оканчиваться на 6.$$\frac{n}{2} \equiv 6 \pmod{10}$$

Обозначим цифры вместо знаков «?» через $a$ и $b$. Тогда число имеет вид $1234a57b8$, или $123405708 + 10000a + 10b$.$$N=123405708+10000a+10b$$

Рассмотрим остатки по модулю 17.$$123405708\equiv5,\quad 10000\equiv4\pmod{17}$$

При пустой последовательности вместо «*» получаем число 123458, но оно не делится на 21.

При одной цифре вместо «*» перебираем числа вида 1234d58. Делимость на 3 возможна только при $d=1,4,7$; проверка делимости на 7 оставляет число 1234758.

В начале $A[0]=2$, $c=0$. При $i=1$: $A[1]=5>2$, поэтому происходит обмен, $A[0]$ становится равным 5, а $c=1$.$$A[0]=5,\quad c=1$$

При $i=2$: $A[2]=4\not>5$, обмена нет. При $i=3$: $A[3]=8>5$, происходит обмен, $A[0]$ становится равным 8, а $c=2$.$$A[0]=8,\quad c=2$$

Для поиска минимума используем переменную k. Так как все элементы не превосходят 10 000, начальное значение k можно взять равным 10 001.$$k = 10001$$

Первым циклом перебираем все элементы массива. Если элемент не делится на 8 и меньше текущего минимума, записываем его в k.$$a[i] \% 8 \ne 0 \land a[i] < k$$

Если $N$ делится на 3, к двоичной записи дописываются три цифры, поэтому значение увеличивается в 8 раз и затем прибавляется число, заданное последними тремя цифрами.

Если $N \bmod 3 = 1$, дописывается двоичная запись числа 3, то есть $11_2$. Поэтому $R=4N+3$.

Начальное значение: $s=0$, $A[1]=19$.$$s=0$$

При $i=0$: $20\geq19$, поэтому к сумме прибавляется $20-19=1$. После обмена $A[1]=20$; $s=1$.$$s=0+(20-19)=1$$

Изначально $s = 0$, $n = 0$. На каждой итерации цикла к $s$ прибавляется $10$.$$s = 10k$$

Цикл продолжается, пока $s < 91$. Минимальное число итераций, при котором $s \geq 91$, равно 10: после девяти итераций $s = 90$, после десятой — $s = 100$.$$k = 10$$

Обрабатываем последовательность слева направо. Поэтому все числа, сохранённые к моменту обработки $a_j$, имеют индексы меньше $j$.

Для текущего числа $a_j$ допустимая сумма должна делиться на $109$. Если $r = a_j \bmod 109$, то предыдущий элемент должен иметь остаток $(109-r) \bmod 109$.

Заведём переменную-счётчик $j$ и установим её начальное значение равным нулю.$$j = 0$$

Переберём все элементы массива. Если остаток от деления элемента на 3 не равен нулю, этот элемент не делится на 3, поэтому увеличим счётчик.$$a[i] \% 3 \ne 0 \Rightarrow j = j + 1$$

Если $N$ делится на 3, дописываются три последние двоичные цифры числа $N$. Их значение равно $N \bmod 8$, поэтому$$R=8N+(N\bmod 8)$$

Для чисел, делящихся на 3, условию $R<76$ удовлетворяет, в частности, $N=9$: $R=8\cdot9+1=73$. Следующее такое число, $N=12$, уже даёт $R>76$.

Пусть $a_i$ — значение показания в момент $i$. Для каждого момента нужно учитывать только показания с индексами не больше $i-K$, поскольку между выбранными моментами должно пройти не менее $K$ минут.$$j \leq i-K$$

Вычисляем лучшие суммы для последовательностей из одного и двух показаний. Для двух показаний к текущему значению добавляется лучший результат для одного показания среди допустимых предыдущих позиций.$$dp_1[i]=a_i,\qquad dp_2[i]=a_i+\max_{j\leq i-K}dp_1[j]$$

Последовательно просматриваем все элементы массива.$$i = 1,2,\ldots,20$$

Если очередной элемент не делится на 7, проверяем, больше ли он текущего максимума. Для первого подходящего элемента удобно отдельно установить начальное значение максимума.

Перебираем натуральные числа в порядке возрастания, начиная с числа, следующего за $8\,007\,524\,668$.$$n = 8\,007\,524\,669, 8\,007\,524\,670, \ldots$$

Оставляем только числа, в десятичной записи которых последовательность 991 встречается ровно один раз.$$\operatorname{count}(\operatorname{str}(n),991)=1$$

Изначально $s = 0$ и $n = 86$. На каждой итерации цикла значение $s$ увеличивается на 8.$$s = 8k$$

Минимальное число итераций, при котором $s \geq 71$, равно 9: после 8 итераций $s = 64$, после 9 итераций $s = 72$.$$8 \cdot 9 = 72$$

Изначально массив имеет вид $[6, 9, 7, 2, 1, 5, 0, 3, 4, 8]$, а $c=0$.

При $i=0$: $6<9$, поэтому выполняется обмен, $c=1$. При $i=1$: $6<7$, выполняется обмен, $c=2$.

Проверим небольшие значения $N$, так как требуется найти максимальный результат, не превышающий 56.

Для нечётного числа $N=5$ двоичная запись имеет вид $101_2$. По правилу получаем $1\,101\,00_2=110100_2$.