Вектор

Вектор — это направленный отрезок, характеризующийся величиной (длиной) и направлением. Вектор обычно обозначается стрелкой над буквами, например, $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, или жирным шрифтом: a.

Основные элементы вектора

1. Начало вектора — точка, откуда начинается вектор.
2. Конец вектора — точка, где вектор заканчивается.
3. Длина (модуль) вектора — расстояние между началом и концом:$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2},|\backslash vec\{a\}|\; =\; \backslash sqrt\{(x\_2\; -\; x\_1)^2\; +\; (y\_2\; -\; y\_1)^2\; +\; (z\_2\; -\; z\_1)^2\},$ где $(x_1,y_1,z_1)(x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ — координаты начала, $(x_2,y_2,z_2)(x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$ — координаты конца.

Типы векторов

1. Свободный вектор: Вектор, который можно перемещать параллельно самому себе.
2. Связанный вектор: Вектор с фиксированной начальной точкой.
3. Нулевой вектор: Вектор с длиной $00$. Его направление неопределено.
4. Единичный вектор: Вектор длиной $11$. Используется для задания направления.
5. Коллинеарные векторы: Векторы, лежащие на одной прямой или параллельные ей.
6. Компланарные векторы: Векторы, лежащие в одной плоскости.

Операции с векторами

Сложение векторов

Сумма двух векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ образует новый вектор $\vec{c}\backslash vec\{c\}$:

Если $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$, то:

Вычитание векторов

Разность двух векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$:

Если $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$, то:

Умножение вектора на число

Если $\vec{a}=(x,y,z)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y,\; z)$ и число $k\in \mathbb{R}k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$, то:

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$:

где $\theta \backslash theta$ — угол между векторами. В координатах:

Векторное произведение

Векторное произведение $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$ даёт новый вектор, перпендикулярный обоим вектором:

В координатах:

где $\vec{i}\backslash vec\{i\}$, $\vec{j}\backslash vec\{j\}$, $\vec{k}\backslash vec\{k\}$ — единичные векторы осей $xx$, $yy$, $zz$.

Длина вектора

Определение: Длина вектора $\vec{a}=(x,y)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y)$ в двумерном пространстве:

Длина вектора $\vec{a}=(x,y,z)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y,\; z)$ в трёхмерном пространстве:

Пример: Найдите длину вектора $\vec{a}=(3,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 4)$.

Решение:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=5|\backslash vec\{a\}|\; =\; 5$

Примеры

Пример 1: Нахождение длины вектора

Найдём длину вектора $\vec{a}=(3,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 4)$.

Решение:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=5|\backslash vec\{a\}|\; =\; 5$.

Пример 2: Скалярное произведение

Даны векторы $\vec{a}=(2,-1,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; -1,\; 3)$ и $\vec{b}=(-1,4,2)\backslash vec\{b\}\; =\; (-1,\; 4,\; 2)$. Найдите их скалярное произведение.

Решение:

Ответ: Скалярное произведение равно $00$.

Пример 3: Векторное произведение

Даны векторы $\vec{a}=(1,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,1,0)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1,\; 0)$. Найдите $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$.

Решение:

Рассчитаем определитель:

Ответ: $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{k}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{k\}$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину вектора $\vec{a}=(5,-2,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (5,\; -2,\; 4)$.
2. Вычислите скалярное произведение $\vec{a}=(1,2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$ и $\vec{b}=(4,-1,2)\backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; -1,\; 2)$.
3. Найдите векторное произведение $\vec{a}=(1,1,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 1,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,1,1)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1,\; 1)$.
4. Докажите, что векторы $\vec{a}=(3,-2,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; -2,\; 1)$ и $\vec{b}=(-6,4,-2)\backslash vec\{b\}\; =\; (-6,\; 4,\; -2)$ коллинеарны.

Заключение

Векторы — это ключевой инструмент в геометрии, физике и инженерии. Они позволяют описывать направления, силы и движения, а также решать задачи в трёхмерном пространстве. Знание операций с векторами упрощает анализ и вычисления.