Как вычислить длину вектора

Определение длины вектора

Длина вектора (или модуль вектора ) — это числовое значение, характеризующее величину вектора. Обозначается как $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }|\backslash vec\{a\}|$.

Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором длины вектора, для вычисления длины вектора.

Формула длины вектора

1. В двумерной системе координат

Для вектора $\vec{a}=(x,y)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y)$ длина вычисляется по формуле:

2. В трёхмерной системе координат

Для вектора $\vec{a}=(x,y,z)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y,\; z)$ длина вычисляется по формуле:

Свойства длины вектора

1. Длина нулевого вектора:
   Если $\vec{a}=(0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (0,\; 0)$ или $\vec{a}=(0,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (0,\; 0,\; 0)$, то:

   $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=0.|\backslash vec\{a\}|\; =\; 0.$

2. Модуль ненулевого вектора:
   Длина любого ненулевого вектора всегда положительна:

   $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }>0.|\backslash vec\{a\}|\; >\; 0.$

3. Масштабирование вектора:
   Если вектор умножить на число $kk$, то его длина изменяется в $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }|k|$ раз:

   $\mathrm{\mid }k\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{.}|k\; \backslash vec\{a\}|\; =\; |k|\; |\backslash vec\{a\}|.$

Примеры

Пример 1: Найти длину вектора в двумерной системе

Дан вектор $\vec{a}=(3,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 4)$. Найдите его длину.

Решение: Используем формулу для двумерного вектора:

Подставим значения:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=5|\backslash vec\{a\}|\; =\; 5$.

Пример 2: Найти длину вектора в трёхмерной системе

Дан вектор $\vec{b}=(2,-3,6)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; -3,\; 6)$. Найдите его длину.

Решение: Используем формулу для трёхмерного вектора:

Подставим значения:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=7|\backslash vec\{b\}|\; =\; 7$.

Пример 3: Длина нулевого вектора

Дан вектор $\vec{c}=(0,0,0)\backslash vec\{c\}\; =\; (0,\; 0,\; 0)$. Найдите его длину.

Решение:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=0|\backslash vec\{c\}|\; =\; 0$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину вектора $\vec{a}=(5,12)\backslash vec\{a\}\; =\; (5,\; 12)$.
2. Вычислите длину вектора $\vec{b}=(-2,3,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (-2,\; 3,\; 4)$.
3. Найдите длину вектора $\vec{c}=(0,-7,24)\backslash vec\{c\}\; =\; (0,\; -7,\; 24)$.
4. Докажите, что длина единичного вектора всегда равна $11$.

Заключение

Вычисление длины вектора — это базовый навык, необходимый для работы с векторами в геометрии, физике и других областях. Знание формул для разных измерений позволяет эффективно решать задачи и анализировать величины векторных величин.