Длина вектора

Длина вектора (или модуль вектора) — это числовая величина, которая описывает “размер” или “величину” вектора. Длина вектора обозначается как $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }|\backslash vec\{a\}|$.

Формула для длины вектора

Длина вектора в двумерном пространстве

Для вектора $\vec{a}=(x,y)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y)$ длина вычисляется по формуле:

Длина вектора в трёхмерном пространстве

Для вектора $\vec{a}=(x,y,z)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y,\; z)$ длина вычисляется по формуле:

Длина нулевого вектора

Если $\vec{a}=(0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (0,\; 0)$ в двумерном пространстве или $\vec{a}=(0,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (0,\; 0,\; 0)$ в трёхмерном пространстве, то:

Свойства длины вектора

1. Модуль ненулевого вектора положителен: $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }>0,\text{если}\vec{a}\mathrm{\ne }\vec{0}\mathrm{.}|\backslash vec\{a\}|\; >\; 0,\; \backslash quad\; \backslash text\{если\}\; \backslash ,\; \backslash vec\{a\}\; \backslash neq\; \backslash vec\{0\}.$

2. Модуль нулевого вектора равен нулю: $\mathrm{\mid }\vec{0}\mathrm{\mid }=0.|\backslash vec\{0\}|\; =\; 0.$

3. Длина вектора, умноженного на число: Если вектор $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ умножается на число $kk$, то его длина изменяется в $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }|k|$ раз: $\mathrm{\mid }k\cdot \vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{.}|k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}|\; =\; |k|\; \backslash cdot\; |\backslash vec\{a\}|.$

4. Норма вектора: Длина вектора — это его норма в евклидовом пространстве.

Примеры

Пример 1: Длина вектора в двумерном пространстве

Найдите длину вектора $\vec{a}=(3,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 4)$.

Решение: Используем формулу:

Подставляем значения:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=5|\backslash vec\{a\}|\; =\; 5$.

Пример 2: Длина вектора в трёхмерном пространстве

Найдите длину вектора $\vec{b}=(2,-3,6)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; -3,\; 6)$.

Решение: Используем формулу:

Подставляем значения:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=7|\backslash vec\{b\}|\; =\; 7$.

Пример 3: Нулевой вектор

Дан нулевой вектор $\vec{c}=(0,0,0)\backslash vec\{c\}\; =\; (0,\; 0,\; 0)$. Найдите его длину.

Решение: Подставляем значения в формулу:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=0|\backslash vec\{c\}|\; =\; 0$.

Пример 4: Умножение вектора на число

Дан вектор $\vec{a}=(1,2,2)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 2)$ и число $k=3k\; =\; 3$. Найдите длину вектора $k\cdot \vec{a}k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}$.

Решение:

1. Сначала найдём длину $\vec{a}\backslash vec\{a\}$:$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.|\backslash vec\{a\}|\; =\; \backslash sqrt\{1^2\; +\; 2^2\; +\; 2^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1\; +\; 4\; +\; 4\}\; =\; \backslash sqrt\{9\}\; =\; 3.$
2. Умножим вектор на число $kk$:$\mathrm{\mid }k\cdot \vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=3\cdot 3=9.|k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}|\; =\; |k|\; \backslash cdot\; |\backslash vec\{a\}|\; =\; 3\; \backslash cdot\; 3\; =\; 9.$

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }k\cdot \vec{a}\mathrm{\mid }=9|k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}|\; =\; 9$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину вектора $\vec{a}=(5,12)\backslash vec\{a\}\; =\; (5,\; 12)$.
2. Вычислите длину вектора $\vec{b}=(-2,3,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (-2,\; 3,\; 4)$.
3. Найдите длину вектора $\vec{c}=(0,-7,24)\backslash vec\{c\}\; =\; (0,\; -7,\; 24)$.
4. Длина вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ равна $1010$. Найдите длину вектора $2\cdot \vec{a}2\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}$.
5. Докажите, что длина единичного вектора всегда равна $11$.

Заключение

Длина вектора — это ключевая характеристика, описывающая его величину. Она вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его компонент. Знание формул для нахождения длины вектора позволяет решать множество задач в геометрии, физике и линейной алгебре.