Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ — это вектор $\vec{c}\backslash vec\{c\}$, который:

1. Перпендикулярен как вектору $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, так и вектору $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.
2. Направление определяется правилом правой руки.
3. Длина (модуль) равна: $\mathrm{\mid }\vec{a}\times \vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\sin \theta ,|\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}|\; =\; |\backslash vec\{a\}|\; |\backslash vec\{b\}|\; \backslash sin\; \backslash theta,$ где $\theta \backslash theta$ — угол между векторами.

Формула векторного произведения

Если $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$, то:

где:

• $\vec{i}\backslash vec\{i\}$, $\vec{j}\backslash vec\{j\}$, $\vec{k}\backslash vec\{k\}$ — единичные векторы вдоль осей $xx$, $yy$, $zz$.

Рассчитанный результат будет вектором:

Свойства векторного произведения

1. Перпендикулярность:
   $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$ перпендикулярен как $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, так и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.

2. Антикоммутативность:

   $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; -(\backslash vec\{b\}\; \backslash times\; \backslash vec\{a\}).$

3. Длина нулевого векторного произведения:
   Если $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, то:

   $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{0\}.$

4. Дистрибутивность:

   $\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; (\backslash vec\{b\}\; +\; \backslash vec\{c\})\; =\; \backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; +\; \backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{c\}.$

5. Связь с площадью параллелограмма:
   Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.

Геометрический смысл

1. Направление $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$ определяется правилом правой руки:

   • Если пальцы правой руки направлены от $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ к $\vec{b}\backslash vec\{b\}$, то вектор $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$ направлен в сторону большого пальца.

2. Длина векторного произведения:

   $\mathrm{\mid }\vec{a}\times \vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\sin \theta ,|\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}|\; =\; |\backslash vec\{a\}|\; |\backslash vec\{b\}|\; \backslash sin\; \backslash theta,$

   где $\theta \backslash theta$ — угол между $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.

Примеры

Пример 1: Векторное произведение в координатах

Даны $\vec{a}=(1,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,1,0)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1,\; 0)$. Найдите $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$.

Решение: Используем формулу:

Вычислим определитель:

Ответ: $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{k}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{k\}$.

Пример 2: Длина векторного произведения

Найдите длину векторного произведения, если $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=3|\backslash vec\{a\}|\; =\; 3$, $\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=4|\backslash vec\{b\}|\; =\; 4$, угол между ними $\theta =30^{\circ }\backslash theta\; =\; 30^\backslash circ$.

Решение: Используем формулу длины:

Подставляем значения:

Ответ: $\mathrm{\mid }\vec{a}\times \vec{b}\mathrm{\mid }=6|\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}|\; =\; 6$.

Пример 3: Проверка коллинеарности векторов

Даны векторы $\vec{a}=(2,4,6)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 4,\; 6)$ и $\vec{b}=(1,2,3)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$. Являются ли они коллинеарными?

Решение: Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю. Вычислим:

Раскрываем определитель:

Вычисляем:

Ответ: $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны.

Задачи для закрепления

1. Найдите векторное произведение $\vec{a}=(2,-1,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; -1,\; 3)$ и $\vec{b}=(1,4,-2)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; 4,\; -2)$.
2. Вычислите длину векторного произведения, если $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=5|\backslash vec\{a\}|\; =\; 5$, $\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=6|\backslash vec\{b\}|\; =\; 6$, угол между ними $90^{\circ }90^\backslash circ$.
3. Докажите, что $\vec{a}=(1,2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$ и $\vec{b}=(2,4,6)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; 4,\; 6)$ коллинеарны.
4. Найдите направление вектора $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$ для $\vec{a}=(1,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,0,1)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 0,\; 1)$.

Заключение

Векторное произведение — это важный инструмент для работы с пространственными объектами. Оно используется для определения перпендикулярных направлений, вычисления площадей и решения задач в трёхмерной геометрии и физике.