Операции с векторами

1. Основные операции с векторами

Векторы обладают специальными операциями, которые позволяют выполнять вычисления в геометрии, физике и других областях.

1.1. Сложение векторов

Определение: Сложение векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ даёт новый вектор $\vec{c}\backslash vec\{c\}$:

Правило треугольника: Если отложить $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ от конца $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, то сумма $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ — это вектор, соединяющий начало $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ с концом $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.

Координаты суммы: Если $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$, то:

1.2. Вычитание векторов

Определение: Разность векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ даёт новый вектор $\vec{c}\backslash vec\{c\}$:

Координаты разности: Если $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$, то:

1.3. Умножение вектора на число

Определение: Умножение вектора $\vec{a}=(x,y,z)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y,\; z)$ на число $kk$ масштабирует вектор:

Свойства:

1. Если $k>0k\; >\; 0$, направление вектора остаётся неизменным.
2. Если , направление вектора меняется на противоположное.

1.4. Длина (модуль) вектора

Определение: Длина вектора $\vec{a}=(x,y)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y)$ в двумерном пространстве:

Длина вектора $\vec{a}=(x,y,z)\backslash vec\{a\}\; =\; (x,\; y,\; z)$ в трёхмерном пространстве:

Пример: Найдите длину вектора $\vec{a}=(3,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 4)$.

Решение:

Ответ: Длина вектора $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=5|\backslash vec\{a\}|\; =\; 5$

2. Скалярное произведение

Определение: Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ — это число:

где $\theta \backslash theta$ — угол между векторами.

Координатная форма: Если $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$, то:

Свойства:

1. Если $\vec{a}\cdot \vec{b}=0\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; 0$, то векторы перпендикулярны.
2. Скалярное произведение симметрично:$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{b\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}.$

3. Векторное произведение

Определение: Векторное произведение $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$ — это вектор, перпендикулярный $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$:

где $\theta \backslash theta$ — угол между векторами.

Координатная форма: Если $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$, то:

где $\vec{i}\backslash vec\{i\}$, $\vec{j}\backslash vec\{j\}$, $\vec{k}\backslash vec\{k\}$ — единичные векторы осей $xx$, $yy$, $zz$.

Свойства:

1. $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; -(\backslash vec\{b\}\; \backslash times\; \backslash vec\{a\})$.
2. Если $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, то $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{0\}$.

4. Смешанное произведение

Определение: Смешанное произведение трёх векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ и $\vec{c}\backslash vec\{c\}$:

Координатная форма:

Геометрический смысл: Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ и $\vec{c}\backslash vec\{c\}$.

Примеры

Пример 1: Сложение векторов

Даны $\vec{a}=(3,-2,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; -2,\; 1)$ и $\vec{b}=(-1,4,2)\backslash vec\{b\}\; =\; (-1,\; 4,\; 2)$. Найдите $\vec{a}+\vec{b}\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}$.

Решение:

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}=(2,2,3)\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; 2,\; 3)$.

Пример 2: Скалярное произведение

Найдите скалярное произведение $\vec{a}=(2,3,-1)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 3,\; -1)$ и $\vec{b}=(1,-2,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; -2,\; 4)$.

Решение:

Ответ: $\vec{a}\cdot \vec{b}=-8\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; -8$.

Пример 3: Векторное произведение

Найдите $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$, если $\vec{a}=(1,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,1,0)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1,\; 0)$.

Решение: Вычисляем определитель:

Ответ: $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{k}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{k\}$.

Задачи для закрепления

1. Найдите сумму $\vec{a}=(2,-1,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; -1,\; 3)$ и $\vec{b}=(4,0,-2)\backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; 0,\; -2)$.
2. Вычислите скалярное произведение $\vec{a}=(3,1,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 1,\; 0)$ и $\vec{b}=(-2,4,5)\backslash vec\{b\}\; =\; (-2,\; 4,\; 5)$.
3. Найдите векторное произведение $\vec{a}=(1,2,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,3,1)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 3,\; 1)$.
4. Найдите смешанное произведение $\vec{a}=(1,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0,\; 0)$, $\vec{b}=(0,1,0)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1,\; 0)$ и $\vec{c}=(0,0,1)\backslash vec\{c\}\; =\; (0,\; 0,\; 1)$.

Заключение

Операции с векторами — это основа для изучения геометрии, физики и инженерии. Знание скалярного, векторного и смешанного произведений позволяет решать задачи в пространстве и анализировать взаимодействие объектов.