Математика Операции с векторами

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение трёх векторов a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} и c⃗\vec{c} — это число, которое равно скалярному произведению одного из векторов на векторное произведение двух других:

[a⃗,b⃗,c⃗]=(a⃗×b⃗)⋅c⃗.[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}.

Формула смешанного произведения

Если векторы заданы координатами:

a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z2),c⃗=(x3,y3,z3),\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \quad \vec{b} = (x_2, y_2, z_2), \quad \vec{c} = (x_3, y_3, z_3),

то смешанное произведение вычисляется как определитель:

[a⃗,b⃗,c⃗]=∣x1y1z1x2y2z2x3y3z3∣.[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}.

Геометрический смысл

  1. Объём параллелепипеда:
    Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} и c⃗\vec{c}:

    ∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣=Vпараллелепипеда.|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = V_{\text{параллелепипеда}}.

  2. Знак смешанного произведения:
    Знак смешанного произведения указывает на ориентацию тройки векторов:

    • Если [a⃗,b⃗,c⃗]>0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] > 0, тройка векторов образует правую систему.
    • Если [a⃗,b⃗,c⃗]<0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] < 0, тройка векторов образует левую систему.

Свойства смешанного произведения

  1. Линейность:
    Смешанное произведение линейно по каждому из векторов:

    [a⃗,b⃗+c⃗,d⃗]=[a⃗,b⃗,d⃗]+[a⃗,c⃗,d⃗].[\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{d}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}] + [\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}].

  2. Антисимметрия:
    При перестановке любых двух векторов знак смешанного произведения меняется:

    [a⃗,b⃗,c⃗]=−[b⃗,a⃗,c⃗].[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}].

  3. Нулевое значение:
    Если векторы компланарны (лежат в одной плоскости), то:

    [a⃗,b⃗,c⃗]=0.[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0.

Примеры

Пример 1: Вычисление смешанного произведения

Даны a⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1, 2, 3), b⃗=(4,5,6)\vec{b} = (4, 5, 6), c⃗=(7,8,9)\vec{c} = (7, 8, 9). Найдите [a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}].

Решение: Используем формулу через определитель:

[a⃗,b⃗,c⃗]=∣123456789∣.[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}.

Раскроем определитель:

[a⃗,b⃗,c⃗]=1⋅(5⋅9−6⋅8)−2⋅(4⋅9−6⋅7)+3⋅(4⋅8−5⋅7).[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7).

Вычислим:

[a⃗,b⃗,c⃗]=1⋅(45−48)−2⋅(36−42)+3⋅(32−35)=−3+12−9=0.[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35) = -3 + 12 - 9 = 0.

Ответ: [a⃗,b⃗,c⃗]=0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0 (векторы компланарны).

Пример 2: Объём параллелепипеда

Даны a⃗=(2,0,1)\vec{a} = (2, 0, 1), b⃗=(1,3,0)\vec{b} = (1, 3, 0), c⃗=(0,2,4)\vec{c} = (0, 2, 4). Найдите объём параллелепипеда.

Решение: Вычислим смешанное произведение:

[a⃗,b⃗,c⃗]=∣201130024∣.[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}.

Раскрываем определитель:

[a⃗,b⃗,c⃗]=2⋅(3⋅4−0⋅2)−0⋅(1⋅4−0⋅0)+1⋅(1⋅2−3⋅0).[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 2 \cdot (3 \cdot 4 - 0 \cdot 2) - 0 \cdot (1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 0).

Вычисляем:

[a⃗,b⃗,c⃗]=2⋅12+0+1⋅2=24+2=26.[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 2 \cdot 12 + 0 + 1 \cdot 2 = 24 + 2 = 26.

Ответ: Объём параллелепипеда V=26V = 26.

Пример 3: Проверка ориентации системы

Даны a⃗=(1,0,0)\vec{a} = (1, 0, 0), b⃗=(0,1,0)\vec{b} = (0, 1, 0), c⃗=(0,0,1)\vec{c} = (0, 0, 1). Проверьте ориентацию тройки векторов.

Решение:

[a⃗,b⃗,c⃗]=∣100010001∣=1.[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1.

Ответ: [a⃗,b⃗,c⃗]>0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] > 0, система образует правую тройку.

Задачи для закрепления

  1. Вычислите смешанное произведение для векторов a⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1, 2, 3), b⃗=(0,1,4)\vec{b} = (0, 1, 4), c⃗=(2,0,1)\vec{c} = (2, 0, 1).
  2. Найдите объём параллелепипеда, если a⃗=(1,1,1)\vec{a} = (1, 1, 1), b⃗=(2,0,3)\vec{b} = (2, 0, 3), c⃗=(0,1,2)\vec{c} = (0, 1, 2).
  3. Докажите, что векторы a⃗=(3,6,9)\vec{a} = (3, 6, 9), b⃗=(1,2,3)\vec{b} = (1, 2, 3) и c⃗=(2,4,6)\vec{c} = (2, 4, 6) компланарны.
  4. Определите знак смешанного произведения для векторов a⃗=(2,0,−1)\vec{a} = (2, 0, -1), b⃗=(1,1,0)\vec{b} = (1, 1, 0), c⃗=(0,1,1)\vec{c} = (0, 1, 1).

Заключение

Смешанное произведение векторов — это мощный инструмент для анализа пространственных отношений между векторами. Оно используется для вычисления объёмов, проверки компланарности и определения ориентации систем векторов.