Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \theta ,\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; |\backslash vec\{a\}|\; |\backslash vec\{b\}|\; \backslash cos\; \backslash theta,$ где: $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }|\backslash vec\{a\}|$ и $\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }|\backslash vec\{b\}|$ — длины векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$, $\theta \backslash theta$ — угол между векторами.

Координатная формула

Если векторы заданы координатами:

то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Для двумерных векторов:

Свойства скалярного произведения

1. Коммутативность:

   $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{b\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}.$

2. Распределительность:

   $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; (\backslash vec\{b\}\; +\; \backslash vec\{c\})\; =\; \backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; +\; \backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{c\}.$

3. Скалярный множитель:

   $(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b}),(k\; \backslash vec\{a\})\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; k\; (\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}),$

   где $kk$ — число.

4. Скалярное произведение с самим собой:

   $\vec{a}\cdot \vec{a}=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}\; =\; |\backslash vec\{a\}|^2.$

5. Перпендикулярные векторы: Если $\vec{a}\cdot \vec{b}=0\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; 0$, то векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ перпендикулярны ($\theta =90^{\circ }\backslash theta\; =\; 90^\backslash circ$).

Геометрический смысл

Скалярное произведение выражает проекцию одного вектора на другой. Формула:

показывает, что $\vec{a}\cdot \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}$ равно произведению длины $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ на длину проекции $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ на $\vec{a}\backslash vec\{a\}$.

Примеры

Пример 1: Вычисление скалярного произведения в координатах

Даны векторы $\vec{a}=(2,3,-1)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 3,\; -1)$ и $\vec{b}=(4,-2,1)\backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; -2,\; 1)$. Найдите их скалярное произведение.

Решение: Используем формулу:

Подставляем значения:

Ответ: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; 1$.

Пример 2: Проверка перпендикулярности векторов

Даны векторы $\vec{a}=(1,-2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; -2,\; 3)$ и $\vec{b}=(4,2,-2)\backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; 2,\; -2)$. Являются ли векторы перпендикулярными?

Решение: Векторы перпендикулярны, если $\vec{a}\cdot \vec{b}=0\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; 0$. Вычислим скалярное произведение:

Ответ: $\vec{a}\cdot \vec{b}\mathrm{\ne }0\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; \backslash neq\; 0$, значит, векторы не перпендикулярны.

Пример 3: Найти угол между векторами

Даны $\vec{a}=(3,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 4)$. Найдите угол между векторами.

Решение: Используем формулу:

1. Найдём длины векторов:

2. Скалярное произведение:

3. Подставляем в формулу:

Значит:

Ответ: Угол между векторами $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. Вычислите скалярное произведение $\vec{a}=(5,-2,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (5,\; -2,\; 1)$ и $\vec{b}=(-1,4,3)\backslash vec\{b\}\; =\; (-1,\; 4,\; 3)$.
2. Проверьте, перпендикулярны ли векторы $\vec{a}=(3,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 1)$ и $\vec{b}=(-1,3)\backslash vec\{b\}\; =\; (-1,\; 3)$.
3. Найдите угол между векторами $\vec{a}=(1,1,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 1,\; 0)$ и $\vec{b}=(2,-2,0)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; -2,\; 0)$.
4. Докажите, что скалярное произведение равно $\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2|\backslash vec\{a\}|^2$, если $\vec{a}=\vec{b}\backslash vec\{a\}\; =\; \backslash vec\{b\}$.

Заключение

Скалярное произведение векторов — это важный инструмент для изучения геометрии и физики. Оно позволяет находить углы между векторами, проверять их перпендикулярность и анализировать проекции одного вектора на другой.