Умножение вектора на число

Умножение вектора на число (или скаляр) — это операция, которая изменяет длину вектора, но не его направление (если число положительное). Если умножить вектор на отрицательное число, его направление инвертируется.

Если вектор $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\backslash vec\{a\}\; =\; (a\_1,\; a\_2,\; a\_3)$ и скаляр $kk$, то произведение вектора на число обозначается как $k\vec{a}k\; \backslash vec\{a\}$ и вычисляется по следующей формуле:

Геометрический смысл

1. Если $k>0k\; >\; 0$: Направление вектора остаётся прежним, но его длина увеличивается в $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }|k|$ раз.
2. Если : Направление вектора изменяется на противоположное, и его длина увеличивается в $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }|k|$ раз.
3. Если $k=0k\; =\; 0$: Вектор становится нулевым, то есть его длина равна нулю, а его направление теряется.

Свойства умножения вектора на число

1. Ассоциативность: $k\cdot (l\cdot \vec{a})=(k\cdot l)\cdot \vec{a},k\; \backslash cdot\; (l\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\})\; =\; (k\; \backslash cdot\; l)\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\},$где $kk$ и $ll$ — скаляры, а $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ — вектор.

2. Дистрибутивность относительно векторов: $k\cdot (\vec{a}+\vec{b})=k\cdot \vec{a}+k\cdot \vec{b},k\; \backslash cdot\; (\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\})\; =\; k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}\; +\; k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\},$ где $kk$ — скаляр, а $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ — векторы.

3. Дистрибутивность относительно скаляров: $(k+l)\cdot \vec{a}=k\cdot \vec{a}+l\cdot \vec{a},(k\; +\; l)\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}\; =\; k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}\; +\; l\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\},$ где $kk$ и $ll$ — скаляры, а $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ — вектор.

4. Умножение на единицу: $1\cdot \vec{a}=\vec{a}\mathrm{.}1\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}\; =\; \backslash vec\{a\}.$

5. Умножение на ноль: $0\cdot \vec{a}=\vec{0},0\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}\; =\; \backslash vec\{0\},$где $\vec{0}\backslash vec\{0\}$ — нулевой вектор.

Примеры

Пример 1: Умножение вектора на положительное число

Пусть $\vec{a}=(3,-2,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; -2,\; 1)$, а $k=4k\; =\; 4$. Найдите $k\vec{a}k\; \backslash vec\{a\}$.

Решение:

Ответ: $k\vec{a}=(12,-8,4)k\; \backslash vec\{a\}\; =\; (12,\; -8,\; 4)$.

Пример 2: Умножение вектора на отрицательное число

Пусть $\vec{a}=(1,5,-3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 5,\; -3)$, а $k=-2k\; =\; -2$. Найдите $k\vec{a}k\; \backslash vec\{a\}$.

Решение:

Ответ: $k\vec{a}=(-2,-10,6)k\; \backslash vec\{a\}\; =\; (-2,\; -10,\; 6)$.

Пример 3: Умножение вектора на ноль

Пусть $\vec{a}=(4,-1,2)\backslash vec\{a\}\; =\; (4,\; -1,\; 2)$. Найдите $0\cdot \vec{a}0\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}$.

Решение:

Ответ: $0\cdot \vec{a}=(0,0,0)0\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}\; =\; (0,\; 0,\; 0)$ (нулевой вектор).

Пример 4: Умножение вектора на дробь

Пусть $\vec{a}=(2,4,6)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 4,\; 6)$, а $k=\frac{1}{2}k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$. Найдите $k\vec{a}k\; \backslash vec\{a\}$.

Решение:

Ответ: $k\vec{a}=(1,2,3)k\; \backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$.

Задачи для закрепления

1. Умножите вектор $\vec{a}=(1,-3,2)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; -3,\; 2)$ на скаляр $55$.
2. Найдите $-3\cdot \vec{a}-3\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}$ для вектора $\vec{a}=(2,0,-4)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 0,\; -4)$.
3. Рассчитайте $0\cdot \vec{a}0\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}$ для вектора $\vec{a}=(-1,2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (-1,\; 2,\; 3)$.
4. Умножьте вектор $\vec{a}=(0,-1,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (0,\; -1,\; 4)$ на скаляр $-4-4$.

Заключение

Операция умножения вектора на число — это важный инструмент в линейной алгебре и геометрии, который позволяет изменять величину (длину) вектора, но не его направление, если число положительное, или инвертировать направление, если число отрицательное. Умножение вектора на ноль всегда даёт нулевой вектор.