Вычитание векторов

Вычитание векторов — это операция, которая позволяет найти разность между двумя векторами. Операция вычитания векторов не является коммутативной, то есть порядок векторов важен.

Если даны два вектора $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\backslash vec\{a\}\; =\; (a\_1,\; a\_2,\; a\_3)$ и $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\backslash vec\{b\}\; =\; (b\_1,\; b\_2,\; b\_3)$, то разность векторов $\vec{a}-\vec{b}\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}$ определяется по компонентам следующим образом:

Геометрический смысл

1. Направление разности векторов: Направление разности двух векторов $\vec{a}-\vec{b}\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}$ совпадает с направлением вектора, который соединяет конец вектора $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ с концом вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$.
2. Модуль разности векторов: Длина разности двух векторов $\vec{a}-\vec{b}\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}$ зависит от расстояния между точками, которые соответствуют этим векторам в пространстве.

Свойства вычитания векторов

1. Ассоциативность:

   $2.\ast \ast \text{Коммутативностьотносительносложения}\ast \ast (\text{длявычитаниявекторовневыполняется}):2.\; **Коммутативность\; относительно\; сложения**\; (для\; вычитания\; векторов\; не\; выполняется):$

2. Вычитание нулевого вектора:

   $4.\ast \ast \text{Нулевойвекторкакразность}\ast \ast :4.\; **Нулевой\; вектор\; как\; разность**:$

Пример 1: Вычитание векторов

Пусть $\vec{a}=(5,-2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (5,\; -2,\; 3)$ и $\vec{b}=(1,4,-1)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; 4,\; -1)$. Найдите $\vec{a}-\vec{b}\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}$.

Решение:

Ответ: $\vec{a}-\vec{b}=(4,-6,4)\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; -6,\; 4)$.

Пример 2: Вычитание векторов с одинаковыми компонентами

Пусть $\vec{a}=(2,3,-1)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 3,\; -1)$ и $\vec{b}=(2,3,-1)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; 3,\; -1)$. Найдите $\vec{a}-\vec{b}\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}$.

Решение:

Ответ: $\vec{a}-\vec{b}=(0,0,0)\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 0,\; 0)$ (нулевой вектор).

Пример 3: Геометрическое объяснение

Пусть $\vec{a}=(3,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 1)$ и $\vec{b}=(1,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; 4)$. Изобразите векторы на координатной плоскости и найдите разность $\vec{a}-\vec{b}\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}$.

Решение:

• Вектор $\vec{a}=(3,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 1)$ — это вектор, направленный от точки $(0,0)(0,\; 0)$ до точки $(3,1)(3,\; 1)$.
• Вектор $\vec{b}=(1,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; 4)$ — это вектор, направленный от точки $(0,0)(0,\; 0)$ до точки $(1,4)(1,\; 4)$.

Теперь, разность $\vec{a}-\vec{b}\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}$ указывает на вектор, который соединяет конец вектора $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ с концом вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$. Это вектор, направленный от точки $(1,4)(1,\; 4)$ до точки $(3,1)(3,\; 1)$.

Рассчитаем разность по компонентам:

Ответ: $\vec{a}-\vec{b}=(2,-3)\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; -3)$.

Заключение

Вычитание векторов — это операция, которая позволяет найти разницу между двумя векторами. Она вычисляется по компонентам, и результат всегда является новым вектором, который указывает на разницу между начальной и конечной точками исходных векторов. Эта операция имеет важное геометрическое значение, и её свойства могут быть использованы для решения различных задач в линейной алгебре и геометрии.