Сумма векторов

Сумма векторов — это операция, которая позволяет найти новый вектор, являющийся результатом сложения двух или более векторов. При этом новый вектор определяется как диагональ параллелограмма, построенного на данных векторах.

Если даны два вектора $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\backslash vec\{a\}\; =\; (a\_1,\; a\_2,\; a\_3)$ и $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\backslash vec\{b\}\; =\; (b\_1,\; b\_2,\; b\_3)$, то их сумма $\vec{a}+\vec{b}\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}$ вычисляется по компонентам:

Геометрический смысл

1. Геометрическое сложение векторов: Чтобы сложить два вектора, нужно:

   • Начало первого вектора поместить в начало второго.
   • Тогда конец первого вектора будет указывать в сторону результата сложения.

   Это можно наглядно изобразить через метод головы и хвоста, который заключается в том, что хвост первого вектора соединяется с головой второго, а результатом будет вектор, направленный от хвоста первого вектора до головы второго.

2. Параллелограмм: Сложение двух векторов можно интерпретировать как диагональ параллелограмма, стороны которого совпадают с этими векторами.

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: Сложение векторов коммутативно, то есть порядок сложения не имеет значения:

   $2.\ast \ast \text{Ассоциативность}\ast \ast :\text{Сложениевекторовассоциативно},\text{тоестьрезультатнезависитотпорядкагруппировкивекторов}:2.\; **Ассоциативность**:\; Сложение\; векторов\; ассоциативно,\; то\; есть\; результат\; не\; зависит\; от\; порядка\; группировки\; векторов:$

2. Нулевой вектор: Сложение вектора с нулевым вектором не изменяет его:

   $4.\ast \ast \text{Обратныйвектор}\ast \ast :\text{Длялюбоговекторасуществуетобратныйвектор},\text{которыйприсложениисданнымвекторомдаётнулевойвектор}:4.\; **Обратный\; вектор**:\; Для\; любого\; вектора\; существует\; обратный\; вектор,\; который\; при\; сложении\; с\; данным\; вектором\; даёт\; нулевой\; вектор:$

Пример 1: Сложение векторов в пространстве

Пусть $\vec{a}=(1,2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$ и $\vec{b}=(4,-1,2)\backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; -1,\; 2)$. Найдем их сумму.

Решение:

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}=(5,1,5)\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}\; =\; (5,\; 1,\; 5)$.

Пример 2: Сложение векторов на плоскости

Пусть $\vec{a}=(2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 3)$ и $\vec{b}=(1,-1)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; -1)$. Найдем их сумму.

Решение:

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}=(3,2)\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}\; =\; (3,\; 2)$.

Пример 3: Геометрическое сложение векторов

На плоскости заданы два вектора: $\vec{a}=(3,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 1)$ и $\vec{b}=(1,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; 4)$. Изобразите векторы и найдите их сумму.

Решение:

1. Вектор $\vec{a}=(3,1)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 1)$ направлен от точки $(0,0)(0,\; 0)$ до точки $(3,1)(3,\; 1)$.
2. Вектор $\vec{b}=(1,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; 4)$ направлен от точки $(0,0)(0,\; 0)$ до точки $(1,4)(1,\; 4)$.

Чтобы сложить эти векторы, нужно:

• Начало вектора $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ расположить в конце вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$.
• Результирующий вектор будет направлен от начала вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ до конца вектора $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.

Сложим компоненты:

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}=(4,5)\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; 5)$.

Заключение

Сложение векторов — это операция, которая позволяет комбинировать два или более вектора в новый вектор. Эта операция обладает рядом важных свойств, таких как коммутативность и ассоциативность. Геометрически сложение векторов можно интерпретировать как нахождение диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах, или через метод “головы и хвоста”. Сложение векторов широко используется в различных областях математики и физики для решения задач, связанных с перемещением, силой, и другими векторными величинами.