Типы векторов

Вектор — это направленный отрезок, который имеет величину (модуль) и направление. Вектор может быть классифицирован в зависимости от различных характеристик, таких как длина, направление, расположение, и другие. Рассмотрим основные типы векторов:

1. Нулевой вектор

Определение: Нулевой вектор — это вектор, который не имеет ни длины, ни направления. Его компоненты равны нулю, и он не изменяет положения объектов при сложении.

• Обозначение: $\vec{0}\backslash vec\{0\}$ или $\mathbf{0}\backslash mathbf\{0\}$.
• Компоненты: $(0,0)(0,\; 0)$ в двумерном пространстве, $(0,0,0)(0,\; 0,\; 0)$ в трехмерном и т.д.

Свойства:

• При сложении с любым вектором не изменяет его: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{0\}\; =\; \backslash vec\{a\}$.
• Он является нейтральным элементом относительно операции сложения векторов.

2. Единичный вектор

Определение: Единичный вектор — это вектор, который имеет длину (модуль) равную единице.

• Обозначение: $\widehat{i}\backslash hat\{i\}$ (в двумерном пространстве часто обозначается как ${\widehat{e}}_x\backslash hat\{e\}\_x$ и ${\widehat{e}}_y\backslash hat\{e\}\_y$).
• Пример: Вектор с направлением вдоль оси $xx$ в двумерной системе координат: $\widehat{i}=(1,0)\backslash hat\{i\}\; =\; (1,\; 0)$.

Свойства:

• Единичный вектор используется для указания направления и часто используется при определении направлений в системах координат.
• Единичный вектор может быть направлен в любом направлении. Вектор длины 1 называется нормированным.

3. Коллинеарные векторы

Определение: Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или являются кратными друг друга. Это означает, что они имеют одинаковое направление или противоположные направления.

• Пример: Вектора $\vec{a}=(2,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 4)$ и $\vec{b}=(1,2)\backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; 2)$ являются коллинеарными, так как $\vec{a}=2\cdot \vec{b}\backslash vec\{a\}\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}$.

Свойства:

• Если два вектора коллинеарны, то их можно выразить как линейные комбинации друг друга: $\vec{a}=k\cdot \vec{b},\backslash vec\{a\}\; =\; k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\},$ где $kk$ — некоторое скалярное число.
• Коллинеарные векторы могут быть направлены в одну сторону (если $k>0k\; >\; 0$) или в противоположную (если ).

4. Ортогональные векторы

Определение: Два вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними равен $90^{\circ }90^\backslash circ$. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю.

• Пример: Векторы $\vec{a}=(1,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,1)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1)$ в двумерной системе координат являются ортогональными, так как их скалярное произведение: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 0+0\cdot 1=0.\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; 1\; \backslash cdot\; 0\; +\; 0\; \backslash cdot\; 1\; =\; 0.$

Свойства:

• Ортогональные векторы перпендикулярны друг другу, что делает их полезными в задачах, связанных с прямыми и углами.
• Множество ортогональных векторов используется для создания ортонормированных базисов в пространстве.

5. Противоположные векторы

Определение: Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую величину, но противоположные направления.

• Пример: Векторы $\vec{a}=(2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 3)$ и $\vec{b}=(-2,-3)\backslash vec\{b\}\; =\; (-2,\; -3)$ являются противоположными.

Свойства:

• Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но противоположные направления.
• При сложении противоположных векторов получается нулевой вектор: $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; +\; (-\backslash vec\{a\})\; =\; \backslash vec\{0\}.$

6. Линейно зависимые векторы

Определение: Векторы называются линейно зависимыми, если один из них можно выразить как линейную комбинацию других. Это означает, что они лежат на одной прямой и не могут быть независимыми.

• Пример: Векторы $\vec{a}=(2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 3)$ и $\vec{b}=(4,6)\backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; 6)$ линейно зависимы, так как $\vec{b}=2\cdot \vec{a}\backslash vec\{b\}\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}$.

Свойства:

• Линейно зависимые векторы не могут образовывать независимую систему для пространства, так как они не могут быть использованы для создания базиса.

7. Линейно независимые векторы

Определение: Векторы называются линейно независимыми, если ни один из них нельзя выразить как линейную комбинацию других. Они не лежат на одной прямой и могут образовывать базис для пространства.

• Пример: Векторы $\vec{a}=(1,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,1)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1)$ являются линейно независимыми, так как они не могут быть выражены как линейная комбинация друг друга.

Свойства:

• Линейно независимые векторы являются фундаментальными для построения базиса пространства.
• Количество линейно независимых векторов в пространстве определяется размерностью пространства.

Заключение

Типы векторов важны для понимания их свойств и использования в различных математических и физических задачах. Основные типы векторов включают нулевой вектор, единичный вектор, коллинеарные и ортогональные векторы, противоположные векторы, а также линейно зависимые и независимые векторы. Все эти типы играют ключевую роль в решении задач, связанных с геометрией, физикой, а также векторным анализом.