Противоположные векторы

Противоположными векторами называются два вектора, которые имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Если вектор $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ является противоположным вектору $\vec{b}\backslash vec\{b\}$, то:

В геометрическом смысле, это означает, что два вектора направлены в противоположные стороны, но по величине они одинаковы.

Свойства противоположных векторов

1. Длина противоположных векторов: Противоположные векторы имеют одинаковую длину, то есть, если $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }|\backslash vec\{a\}|$ — длина вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, то: $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid },\text{где}\vec{b}=-\vec{a}\mathrm{.}|\backslash vec\{a\}|\; =\; |\backslash vec\{b\}|,\; \backslash quad\; \backslash text\{где\}\; \backslash quad\; \backslash vec\{b\}\; =\; -\backslash vec\{a\}.$

2. Скалярное произведение: Скалярное произведение противоположных векторов всегда равно: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot (-\vec{a})=-\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2,\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; (-\backslash vec\{a\})\; =\; -|\backslash vec\{a\}|^2,$ где $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }|\backslash vec\{a\}|$ — длина вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$.

3. Сложение противоположных векторов: Если два вектора противоположны, их сумма всегда равна нулевому вектору: $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0},\backslash vec\{a\}\; +\; (-\backslash vec\{a\})\; =\; \backslash vec\{0\},$ где $\vec{0}\backslash vec\{0\}$ — это нулевой вектор.

4. Противоположные векторы и линейная зависимость: Противоположные векторы всегда линейно зависимы, так как один из них является скалярным произведением другого на -1: $\vec{a}=-1\cdot \vec{b}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; =\; -1\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}.$

5. Геометрическое представление: Противоположные векторы изображаются как два вектора, направленные в противоположные стороны, но имеющие одинаковую длину. Например, если один вектор направлен вправо, то противоположный ему вектор будет направлен влево и будет иметь такую же длину.

Примеры

Пример 1: Противоположные векторы в двумерном пространстве

Пусть вектор $\vec{a}=(2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (2,\; 3)$, тогда противоположный вектор будет $\vec{b}=(-2,-3)\backslash vec\{b\}\; =\; (-2,\; -3)$.

Проверим, что они противоположны:

• Векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ имеют одинаковую длину: $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-2{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{13}\mathrm{.}|\backslash vec\{a\}|\; =\; \backslash sqrt\{2^2\; +\; 3^2\}\; =\; \backslash sqrt\{13\},\; \backslash quad\; |\backslash vec\{b\}|\; =\; \backslash sqrt\{(-2)^2\; +\; (-3)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{13\}.$

• Сумма этих векторов равна нулевому вектору: $\vec{a}+\vec{b}=(2,3)+(-2,-3)=(0,0),\text{что есть нулевой вектор }\vec{0}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; 3)\; +\; (-2,\; -3)\; =\; (0,\; 0),\; \backslash quad\; \backslash text\{что\; есть\; нулевой\; вектор\}\; \backslash \; \backslash vec\{0\}.$

Таким образом, векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ являются противоположными.

Пример 2: Противоположные векторы в трёхмерном пространстве

Пусть вектор $\vec{a}=(1,-2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; -2,\; 3)$, тогда противоположный ему вектор $\vec{b}=(-1,2,-3)\backslash vec\{b\}\; =\; (-1,\; 2,\; -3)$.

Проверим, что они противоположны:

• Векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ имеют одинаковую длину: $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2}=\sqrt{14},\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{14}\mathrm{.}|\backslash vec\{a\}|\; =\; \backslash sqrt\{1^2\; +\; (-2)^2\; +\; 3^2\}\; =\; \backslash sqrt\{14\},\; \backslash quad\; |\backslash vec\{b\}|\; =\; \backslash sqrt\{(-1)^2\; +\; 2^2\; +\; (-3)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{14\}.$

• Сумма этих векторов равна нулевому вектору: $\vec{a}+\vec{b}=(1,-2,3)+(-1,2,-3)=(0,0,0),\text{что есть нулевой вектор }\vec{0}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}\; =\; (1,\; -2,\; 3)\; +\; (-1,\; 2,\; -3)\; =\; (0,\; 0,\; 0),\; \backslash quad\; \backslash text\{что\; есть\; нулевой\; вектор\}\; \backslash \; \backslash vec\{0\}.$

Таким образом, векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ являются противоположными.

Заключение

Противоположные векторы — это два вектора, которые имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Они широко используются в линейной алгебре и геометрии, особенно при решении задач на сложение и вычитание векторов. Важно помнить, что сумма противоположных векторов всегда равна нулевому вектору.