Линейно независимые векторы

Линейно независимыми векторами называются такие векторы, для которых единственным решением линейной комбинации, равной нулевому вектору, являются нулевые коэффициенты. Формально, векторы ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\dots ,{\vec{v}}_n\backslash vec\{v\}\_1,\; \backslash vec\{v\}\_2,\; \backslash dots,\; \backslash vec\{v\}\_n$ линейно независимы, если только при $c_1=c_2=\cdots =c_n=0c\_1\; =\; c\_2\; =\; \backslash dots\; =\; c\_n\; =\; 0$ выполняется равенство:

То есть, линейно независимые векторы не могут быть выражены через другие векторы из набора. Если хотя бы один вектор из набора можно представить как линейную комбинацию других векторов, то этот набор векторов линейно зависим.

Геометрический смысл

• В двумерном пространстве два вектора будут линейно независимы, если они не параллельны. Вектор можно представить как линейную комбинацию другого только в том случае, если они параллельны (имеют одинаковое направление).
• В трехмерном пространстве три вектора будут линейно независимы, если они не лежат на одной плоскости. То есть, они должны образовывать объем, например, как три координатных вектора $(1,0,0)(1,\; 0,\; 0)$, $(0,1,0)(0,\; 1,\; 0)$ и $(0,0,1)(0,\; 0,\; 1)$.

Линейно независимые векторы образуют базис в пространстве, что означает, что любой вектор этого пространства можно выразить через эти векторы.

Условие линейной независимости

Для того чтобы векторы были линейно независимы, необходимо, чтобы не существовало ненулевого решения системы линейных уравнений для линейной комбинации этих векторов, равной нулю:

Если решение этой системы возможно только при $c_1=c_2=\cdots =c_n=0c\_1\; =\; c\_2\; =\; \backslash dots\; =\; c\_n\; =\; 0$, то векторы линейно независимы.

Свойства линейно независимых векторов

1. Если векторы линейно независимы, то они не лежат на одной прямой или плоскости:

   • В двумерном пространстве два вектора линейно независимы, если они не параллельны.
   • В трехмерном пространстве три вектора линейно независимы, если они не лежат на одной плоскости.

2. Число линейно независимых векторов: Векторы могут быть линейно независимыми только в том случае, если их количество не превышает размерности пространства. Например:

   • В двумерном пространстве не может быть трех линейно независимых векторов.
   • В трехмерном пространстве не может быть четырех линейно независимых векторов.

3. Линейно независимые векторы образуют базис: Набор линейно независимых векторов образует базис пространства, то есть любой вектор этого пространства можно выразить как их линейную комбинацию.

Пример 1: Линейно независимые векторы в двумерном пространстве

Пусть даны два вектора:

Проверим, линейно ли независимы эти векторы.

Для этого составим линейную комбинацию:

то есть:

что эквивалентно системе уравнений:

Решая систему, получаем:

Поскольку единственным решением является $c_1=0c\_1\; =\; 0$ и $c_2=0c\_2\; =\; 0$, векторы ${\vec{v}}_1\backslash vec\{v\}\_1$ и ${\vec{v}}_2\backslash vec\{v\}\_2$ линейно независимы.

Пример 2: Линейно независимые векторы в трехмерном пространстве

Пусть даны три вектора:

Проверим, линейно ли независимы эти векторы.

Для этого составим линейную комбинацию:

то есть:

что эквивалентно системе уравнений:

Поскольку единственным решением является $c_1=0c\_1\; =\; 0$, $c_2=0c\_2\; =\; 0$, $c_3=0c\_3\; =\; 0$, то векторы ${\vec{v}}_1\backslash vec\{v\}\_1$, ${\vec{v}}_2\backslash vec\{v\}\_2$ и ${\vec{v}}_3\backslash vec\{v\}\_3$ линейно независимы.

Заключение

Линейно независимые векторы — это такие векторы, которые не могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. Эти векторы образуют базис пространства, и любой вектор в этом пространстве может быть представлен через линейную комбинацию этих базисных векторов. Важным свойством линейно независимых векторов является то, что их количество не может превышать размерность пространства, в котором они находятся.