Единичный вектор

Единичный вектор — это вектор, длина которого равна единице. Он служит для указания направления, но не имеет масштаба. Единичный вектор используется в различных областях математики и физики для нормализации (приведения) других векторов к определённой длине.

Обозначается единичный вектор обычно как $\widehat{e}\backslash hat\{e\}$ или $\mathbf{e}\backslash mathbf\{e\}$, где “hat” или шляпка (^) символизирует, что это именно единичный вектор.

Для любого вектора $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ его единичный вектор можно получить по формуле:

где $\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }|\backslash vec\{v\}|$ — длина (модуль) вектора $\vec{v}\backslash vec\{v\}$.

Свойства единичного вектора

1. Длина единичного вектора: Единичный вектор всегда имеет длину, равную 1:

   $\mathrm{\mid }\widehat{v}\mathrm{\mid }=1.|\backslash hat\{v\}|\; =\; 1.$

2. Единичный вектор сохраняет направление: Единичный вектор сохраняет направление исходного вектора, но его длина всегда будет равна 1. Это позволяет использовать единичный вектор для задания направления в пространстве.

3. Операции с единичными векторами:

   • Сложение: При сложении двух единичных векторов, результат не является единичным вектором, если только векторы не противоположны или совпадают.
   • Умножение на скаляр: Если умножить единичный вектор на скаляр $kk$, то длина вектора изменится, но он больше не будет единичным вектором:$k\cdot \widehat{v}=k\cdot \frac{\vec{v}}{\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}\mathrm{.}k\; \backslash cdot\; \backslash hat\{v\}\; =\; k\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash vec\{v\}\}\{|\backslash vec\{v\}|\}.$

4. Единичный вектор как направление: Единичный вектор используется для описания направления вектора. Например, если вам нужно описать направление от точки $AA$ до точки $BB$, то единичный вектор из точки $AA$ в точку $BB$ будет показывать, в каком направлении нужно двигаться, но его длина будет равна 1.

Геометрическая интерпретация

Единичный вектор в двумерном или трёхмерном пространстве имеет особое значение, так как он представляет собой направленный отрезок длиной 1, который может указывать на любую ось или направление.

• В двумерной системе координат:

  • $\widehat{i}=(1,0)\backslash hat\{i\}\; =\; (1,\; 0)$ — единичный вектор вдоль оси $xx$.
  • $\widehat{j}=(0,1)\backslash hat\{j\}\; =\; (0,\; 1)$ — единичный вектор вдоль оси $yy$.

• В трёхмерной системе координат:

  • $\widehat{i}=(1,0,0)\backslash hat\{i\}\; =\; (1,\; 0,\; 0)$ — единичный вектор вдоль оси $xx$.
  • $\widehat{j}=(0,1,0)\backslash hat\{j\}\; =\; (0,\; 1,\; 0)$ — единичный вектор вдоль оси $yy$.
  • $\widehat{k}=(0,0,1)\backslash hat\{k\}\; =\; (0,\; 0,\; 1)$ — единичный вектор вдоль оси $zz$.

Эти векторы образуют базис пространства, и с их помощью можно выразить любые векторы, имеющие длину, отличную от единицы.

Применение единичного вектора

1. Нормализация векторов: Единичный вектор используется для нормализации других векторов. Это означает, что любой вектор можно привести к единичной длине, сохраняя его направление. Например, если $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ — это вектор с длиной $\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }|\backslash vec\{v\}|$, то единичный вектор $\widehat{v}\backslash hat\{v\}$ будет вычисляться как:

   $\widehat{v}=\frac{\vec{v}}{\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}\mathrm{.}\backslash hat\{v\}\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\{v\}\}\{|\backslash vec\{v\}|\}.$

2. Направление силы или скорости: В физике единичные векторы часто используются для представления направления сил, скоростей или других векторных величин. Например, если сила направлена вдоль оси $xx$, то её можно представить как $F_x=F\widehat{i}F\_x\; =\; F\; \backslash hat\{i\}$, где $\widehat{i}\backslash hat\{i\}$ — единичный вектор вдоль оси $xx$.

3. Комплексное представление вектора: Вектор можно выразить как линейную комбинацию единичных векторов:

   $\vec{v}=v_x\widehat{i}+v_y\widehat{j}+v_z\widehat{k}\mathrm{.}\backslash vec\{v\}\; =\; v\_x\; \backslash hat\{i\}\; +\; v\_y\; \backslash hat\{j\}\; +\; v\_z\; \backslash hat\{k\}.$

Примеры

Пример 1: Нормализация вектора

Пусть $\vec{v}=(3,4)\backslash vec\{v\}\; =\; (3,\; 4)$ — вектор в двумерном пространстве. Его длина равна:

Единичный вектор $\widehat{v}\backslash hat\{v\}$, направленный вдоль вектора $\vec{v}\backslash vec\{v\}$, вычисляется как:

Таким образом, единичный вектор $\widehat{v}\backslash hat\{v\}$ имеет длину 1 и указывает в том же направлении, что и $\vec{v}\backslash vec\{v\}$.

Пример 2: Векторное представление

Если вектор $\vec{v}=(2,3,4)\backslash vec\{v\}\; =\; (2,\; 3,\; 4)$ в трёхмерном пространстве, то его единичный вектор будет вычисляться как:

и единичный вектор $\widehat{v}\backslash hat\{v\}$:

Заключение

Единичный вектор является важным инструментом в линейной алгебре и геометрии. Он используется для нормализации векторов, представления направления и упрощения математических вычислений. Единичные векторы позволяют работать с векторами, не изменяя их направления, но приводя их к стандартной длине, равной 1.