Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или параллельны друг другу. То есть два вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ называются коллинеарными, если существует такая прямая, на которой лежат оба вектора, или если они параллельны.

Условия коллинеарности

Для двух векторов $\vec{a}=(x_1,y_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2)$ в двумерном пространстве или для векторов $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\backslash vec\{a\}\; =\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\backslash vec\{b\}\; =\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$ в трёхмерном пространстве векторы будут коллинеарными, если их компоненты удовлетворяют следующим условиям:

1. В двумерном пространстве векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, если выполняется условие пропорциональности:

   $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\mathrm{.}\backslash frac\{x\_1\}\{x\_2\}\; =\; \backslash frac\{y\_1\}\{y\_2\}.$

2. В трёхмерном пространстве векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, если выполняется условие:

   $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}\mathrm{.}\backslash frac\{x\_1\}\{x\_2\}\; =\; \backslash frac\{y\_1\}\{y\_2\}\; =\; \backslash frac\{z\_1\}\{z\_2\}.$

Если выполняются эти пропорции, то векторы коллинеарны.

Признаки коллинеарности векторов

1. Коллинеарность через скалярное произведение: Векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, если их скалярное произведение может быть выражено через длины векторов и угол между ними:

   $\vec{a}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \theta ,\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; |\backslash vec\{a\}|\; |\backslash vec\{b\}|\; \backslash cos\; \backslash theta,$

   где $\theta =0^{\circ }\backslash theta\; =\; 0^\backslash circ$ или $\theta =180^{\circ }\backslash theta\; =\; 180^\backslash circ$, что соответствует углу между коллинеарными векторами, равному нулю или 180 градусам.

2. Коллинеарность через векторное произведение: Векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю:

   $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{0\}.$

Геометрическая интерпретация

1. Коллинеарные векторы в двумерном пространстве: Если два вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, то они лежат на одной прямой, т.е. один вектор может быть получен путём масштабирования другого.

2. Коллинеарные векторы в трёхмерном пространстве: Векторы лежат на одной прямой или вдоль двух параллельных прямых.

Примеры коллинеарности

Пример 1: Векторы в двумерном пространстве

Пусть векторы $\vec{a}=(4,6)\backslash vec\{a\}\; =\; (4,\; 6)$ и $\vec{b}=(2,3)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; 3)$.

Решение: Проверим пропорциональность их компонент:

Поскольку компоненты векторов пропорциональны, то векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны.

Ответ: Векторы коллинеарны.

Пример 2: Векторы в трёхмерном пространстве

Пусть векторы $\vec{a}=(1,2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$ и $\vec{b}=(2,4,6)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; 4,\; 6)$.

Решение: Проверим пропорциональность их компонент:

Поскольку все пропорции равны, то векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны.

Ответ: Векторы коллинеарны.

Пример 3: Векторы не коллинеарны

Пусть векторы $\vec{a}=(1,2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$ и $\vec{b}=(4,5,6)\backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; 5,\; 6)$.

Решение: Проверим пропорциональность их компонент:

Поскольку пропорции не равны, то векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ не коллинеарны.

Ответ: Векторы не коллинеарны.

Свойства коллинеарных векторов

1. Если векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, то они могут быть выражены как линейные комбинации друг друга:

   $\vec{a}=k\cdot \vec{b},\backslash vec\{a\}\; =\; k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\},$

   где $kk$ — скаляр.

2. Коллинеарные векторы могут быть направлены в одну или противоположную сторону (в зависимости от знака скаляра $kk$).

3. Если несколько векторов коллинеарны, то они лежат на одной прямой или вдоль параллельных прямых.

Заключение

Коллинеарность векторов — это важное понятие в геометрии и линейной алгебре, которое позволяет характеризовать взаимное расположение векторов. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Определение коллинеарности важно для решения задач, связанных с направлением, длиной и углами между векторами.