Линейно зависимые векторы

Линейно зависимыми векторами называются такие векторы, один из которых можно выразить как линейную комбинацию других векторов. Формально, векторы ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\dots ,{\vec{v}}_n\backslash vec\{v\}\_1,\; \backslash vec\{v\}\_2,\; \backslash dots,\; \backslash vec\{v\}\_n$ называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:

где хотя бы один из коэффициентов $c_1,c_2,\dots ,c_{n}c\_1,\; c\_2,\; \backslash dots,\; c\_n$ не равен нулю.

Если векторы линейно зависимы, это означает, что один из них можно выразить через другие, и таким образом, эти векторы не являются независимыми.

Геометрический смысл

В геометрическом смысле линейно зависимые векторы лежат на одной прямой или на одной плоскости. То есть, если вектора линейно зависимы, то они не могут образовывать базис в пространстве, потому что один из них можно представить как комбинацию других.

• В двумерном пространстве два вектора линейно зависимы, если они параллельны (находятся на одной прямой).
• В трехмерном пространстве три вектора линейно зависимы, если они лежат на одной плоскости или если один из них можно выразить через другие два.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Если один из векторов нулевой: Если один из векторов в наборе является нулевым, то набор векторов всегда линейно зависим. $c_1{\vec{v}}_1+c_2{\vec{v}}_2+\cdots +c_n\vec{0}=\vec{0},c\_1\; \backslash vec\{v\}\_1\; +\; c\_2\; \backslash vec\{v\}\_2\; +\; \backslash dots\; +\; c\_n\; \backslash vec\{0\}\; =\; \backslash vec\{0\},$ где хотя бы один $c_i\mathrm{\ne }0c\_i\; \backslash neq\; 0$.

2. Линейная зависимость и независимость: Если вектор можно выразить через другие векторы, то он не является независимым. Например, если для вектора ${\vec{v}}_3\backslash vec\{v\}\_3$ выполняется равенство ${\vec{v}}_3=\alpha {\vec{v}}_1+\beta {\vec{v}}_2\backslash vec\{v\}\_3\; =\; \backslash alpha\; \backslash vec\{v\}\_1\; +\; \backslash beta\; \backslash vec\{v\}\_2$, то векторы ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\backslash vec\{v\}\_1,\; \backslash vec\{v\}\_2,\; \backslash vec\{v\}\_3$ будут линейно зависимыми.

3. Число линейно зависимых векторов: Если векторов больше, чем размерность пространства, в котором они находятся, то они всегда линейно зависимы. Например, в двумерном пространстве нельзя иметь три линейно независимых вектора.

Условие линейной зависимости

Для набора векторов ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\dots ,{\vec{v}}_n\backslash vec\{v\}\_1,\; \backslash vec\{v\}\_2,\; \backslash dots,\; \backslash vec\{v\}\_n$ линейная зависимость будет выполняться, если существует такая линейная комбинация:

где хотя бы один коэффициент $c_i\mathrm{\ne }0c\_i\; \backslash neq\; 0$.

Для проверки линейной зависимости можно решить систему линейных уравнений. Если существует ненулевое решение, то векторы линейно зависимы.

Примеры линейной зависимости

Пример 1: Линейная зависимость в двумерном пространстве

Пусть векторы ${\vec{v}}_1=(1,2)\backslash vec\{v\}\_1\; =\; (1,\; 2)$ и ${\vec{v}}_2=(2,4)\backslash vec\{v\}\_2\; =\; (2,\; 4)$. Проверим, линейно ли зависимы эти векторы.

Для этого попробуем найти такие коэффициенты $c_{1}c\_1$ и $c_{2}c\_2$, что:

Подставим координаты векторов:

Это дает систему уравнений:

Решив систему, получаем $c_1=-2c_{2}c\_1\; =\; -2c\_2$. Таким образом, коэффициенты $c_{1}c\_1$ и $c_{2}c\_2$ не равны нулю, и векторы ${\vec{v}}_1\backslash vec\{v\}\_1$ и ${\vec{v}}_2\backslash vec\{v\}\_2$ линейно зависимы.

Пример 2: Линейная зависимость в трехмерном пространстве

Пусть векторы ${\vec{v}}_1=(1,0,0)\backslash vec\{v\}\_1\; =\; (1,\; 0,\; 0)$, ${\vec{v}}_2=(0,1,0)\backslash vec\{v\}\_2\; =\; (0,\; 1,\; 0)$ и ${\vec{v}}_3=(1,1,0)\backslash vec\{v\}\_3\; =\; (1,\; 1,\; 0)$. Проверим их линейную зависимость.

Составим линейную комбинацию:

Это дает систему уравнений:

Решая систему, получаем $c_1=-c_{3}c\_1\; =\; -c\_3$, $c_2=-c_{3}c\_2\; =\; -c\_3$. Таким образом, коэффициенты $c_{1}c\_1$, $c_{2}c\_2$, $c_{3}c\_3$ не равны нулю, и векторы линейно зависимы.

Заключение

Линейная зависимость векторов — это важная концепция в линейной алгебре, которая указывает на то, что один вектор можно выразить через другие. Линейно зависимые векторы не могут образовывать базис в пространстве. Эти векторы полезны для решения систем уравнений и нахождения решений вектора на основе других векторов.