Ортогональные векторы

Ортогональные векторы — это векторы, которые перпендикулярны друг другу. Два вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ считаются ортогональными, если угол между ними равен 90 градусов (или $\frac{\pi }{2}\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ радиан). В математике, это также означает, что их скалярное произведение равно нулю.

Точно говоря, два вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ ортогональны, если:

где $\vec{a}\cdot \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}$ — это скалярное произведение векторов.

Геометрическое представление

Когда два вектора ортогональны, это означает, что они “расположены” под прямым углом друг к другу. В двумерной и трёхмерной геометрии это изображается как два вектора, которые пересекаются под углом 90°.

• В двумерной системе координат это может быть, например, вектор $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, направленный вдоль оси $xx$, и вектор $\vec{b}\backslash vec\{b\}$, направленный вдоль оси $yy$. Эти два вектора являются ортогональными.
• В трёхмерном пространстве два вектора, расположенные вдоль осей $xx$ и $yy$, тоже будут ортогональны.

Условие ортогональности

Чтобы два вектора были ортогональными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\backslash vec\{a\}\; =\; (a\_1,\; a\_2,\; a\_3)$ и $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\backslash vec\{b\}\; =\; (b\_1,\; b\_2,\; b\_3)$ в трёхмерном пространстве вычисляется как:

Если это выражение равно нулю, то векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ ортогональны.

Пример: Пусть векторы $\vec{a}=(1,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,1,0)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1,\; 0)$. Тогда их скалярное произведение:

Следовательно, эти векторы ортогональны.

Свойства ортогональных векторов

1. Перпендикулярность: Два ортогональных вектора всегда перпендикулярны.

2. Скалярное произведение: Как уже упоминалось, два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a}\cdot \vec{b}=0.\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; 0.$

3. Ортогональные компоненты: Если вектор $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ можно разложить на два компонента, один из которых ортогонален другому, это разложение называется ортогональным разложением.

4. Ортогональные векторы и независимость: Векторы, которые являются ортогональными, всегда линейно независимы, если они не нулевые. Это означает, что ни один из них нельзя представить как линейную комбинацию другого.

5. Проектирование векторов: Если нужно найти проекцию одного вектора на другой, и эти векторы ортогональны, то проекция одного вектора на другой всегда будет равна нулю. Это свойство используется, например, при вычислениях в методах ортогонализации.

Примеры

Пример 1: Ортогональные векторы в двумерном пространстве

Пусть два вектора $\vec{a}=(3,4)\backslash vec\{a\}\; =\; (3,\; 4)$ и $\vec{b}=(-4,3)\backslash vec\{b\}\; =\; (-4,\; 3)$ в двумерном пространстве. Проверим, ортогональны ли они:

Скалярное произведение:

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ ортогональны.

Пример 2: Ортогональные векторы в трёхмерном пространстве

Пусть два вектора $\vec{a}=(1,0,0)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 0,\; 0)$ и $\vec{b}=(0,1,0)\backslash vec\{b\}\; =\; (0,\; 1,\; 0)$ в трёхмерном пространстве. Проверим, ортогональны ли они:

Скалярное произведение:

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ ортогональны.

Заключение

Ортогональные векторы — это векторы, перпендикулярные друг другу. Они являются важным инструментом в линейной алгебре и геометрии, так как их использование упрощает многие вычисления, например, при разложении векторов, проектировании или при решении задач на минимизацию. Ортогональные векторы всегда линейно независимы, и это свойство широко используется в математике и физике.