Связанный вектор

Связанный вектор — это вектор, который может быть получен из другого вектора с помощью некоторой трансформации, такой как сдвиг, перемещение или умножение на скаляр. Векторы считаются связанными, если они имеют одинаковое направление, но могут отличаться по длине, или если один вектор является результатом применения операции над другим вектором.

Вектор $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ называется связанным с вектором $\vec{u}\backslash vec\{u\}$, если существует такая операция, как сдвиг или масштабирование, которая переводит один вектор в другой.

Свойства связанных векторов

1. Одинаковое направление: Если два вектора связаны, то их направления могут быть одинаковыми, но длины могут отличаться. Например, если вектор $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ увеличен в два раза, он остаётся направленным в том же направлении, но его длина удваивается.

2. Перемещение одного вектора относительно другого: Связанные векторы могут быть получены через перемещение (сдвиг) одного вектора относительно другого. Например, если точка $AA$ перемещена в точку $BB$ с помощью вектора $\vec{v}\backslash vec\{v\}$, то вектор $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ связан с вектором, который определяет перемещение точки $AA$ в точку $BB$.

3. Масштабирование: Один вектор может быть связан с другим через операцию масштабирования, то есть изменение его длины. Если вектор $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ умножается на некоторый скаляр $kk$, то вектор $\vec{u}=k\cdot \vec{v}\backslash vec\{u\}\; =\; k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{v\}$ будет связан с $\vec{v}\backslash vec\{v\}$.

4. Сдвиг и параллельность: Если два вектора сдвигаются параллельно друг другу, то они считаются связанными. Вектор, который получается через сдвиг одного из векторов, будет иметь одинаковое направление и будет параллелен исходному вектору.

Связь между векторами через операции

1. Сложение векторов: Два вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ могут быть связаны через операцию их сложения. Вектор, получаемый в результате сложения, будет направлен в том же направлении, что и сумма двух векторов.

   $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}\mathrm{.}\backslash vec\{c\}\; =\; \backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}.$

2. Вычитание векторов: Связанные векторы могут быть получены через вычитание одного вектора из другого. Например, разность векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ приведёт к новому вектору, который будет связан с этими векторами.

   $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}\mathrm{.}\backslash vec\{c\}\; =\; \backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}.$

3. Масштабирование: Вектор $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ может быть связан с другим вектором через умножение на скаляр $kk$. Если $kk$ положительное, то векторы будут направлены в одну сторону, а если $kk$ отрицательное, то направления будут противоположными.

   $\vec{u}=k\cdot \vec{v}\mathrm{.}\backslash vec\{u\}\; =\; k\; \backslash cdot\; \backslash vec\{v\}.$

4. Комбинирование операций: Векторы могут быть связаны через комбинированные операции, например, сначала умножение на скаляр, а затем сложение с другим вектором. Это даёт возможность создавать более сложные зависимости между векторами.

Геометрическая интерпретация

С геометрической точки зрения связанные векторы могут быть изображены как векторы, которые указывают в одном направлении, но могут различаться по длине. Например, если один вектор является результатом масштабирования другого, то его длина будет больше или меньше, но он останется направленным в том же направлении.

• Сдвиг: Если один вектор сдвигает точку в пространстве, то вектор перемещения и начальный вектор можно считать связанными. Например, если точка $AA$ сдвигается на расстояние, заданное вектором $\vec{v}\backslash vec\{v\}$, то $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ будет связан с направлением и величиной сдвига.

• Параллельность: Если два вектора направлены в одну сторону и лежат на одной прямой, то они связаны и являются параллельными.

Примеры

Пример 1: Масштабирование вектора

Пусть вектор $\vec{v}=(3,4)\backslash vec\{v\}\; =\; (3,\; 4)$. Масштабируем его на коэффициент $22$:

Вектор $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ связан с $\vec{v}\backslash vec\{v\}$, потому что они имеют одинаковое направление, но длина вектора $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ в два раза больше.

Пример 2: Сложение векторов

Пусть векторы $\vec{a}=(1,2)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2)$ и $\vec{b}=(2,3)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; 3)$. Сложим их:

Вектор $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ связан с векторами $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$, так как его компоненты являются результатом сложения соответствующих компонентов этих векторов.

Заключение

Связанные векторы могут быть получены через операции с другими векторами, такие как сдвиг, масштабирование, сложение и вычитание. Эти операции позволяют изменять длину и направление вектора, сохраняя его общую структуру и связь с исходным вектором. Связанные векторы имеют важное значение в линейной алгебре, геометрии и физике, где они часто используются для описания направлений, перемещений и различных трансформаций.