Теоремы с векторами

Векторы — это важный инструмент в математике и физике, и с ними связано множество теорем, которые позволяют решать различные задачи. Векторные теоремы играют ключевую роль в геометрии, механике, теории поля и других областях. Рассмотрим несколько основных теорем, связанных с векторами.

1. Теорема о сумме векторов

Теорема: Если $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ — два вектора, то их сумма $\vec{a}+\vec{b}\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}$ является вектором, который можно получить, используя параллельный перенос одного из векторов.

Доказательство: Рассмотрим два вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$, начальные точки которых совпадают. Сумма этих векторов — это вектор, который можно получить, начиная от одной точки и направляя его по направлению и длине векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.

Геометрически эта теорема выражается в виде параллелограмма, где диагональ параллелограмма будет являться суммой векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.

2. Теорема о разности векторов

Теорема: Разность двух векторов $\vec{a}-\vec{b}\backslash vec\{a\}\; -\; \backslash vec\{b\}$ может быть представлена как сумма вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и противоположного вектора $-\vec{b}-\backslash vec\{b\}$:

Доказательство: Для вычисления разности двух векторов, можно прибавить к первому вектору противоположный вектор второго. Это также можно геометрически представить: если вы отнимаете один вектор от другого, то надо перевести второй вектор на противоположный ему, а затем сложить оба вектора.

3. Теорема о произведении вектора на число (скаляр)

Теорема: Если вектор $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ умножается на число $kk$, то результатом будет новый вектор, который имеет ту же направленность, но может быть растянут или сокращен в зависимости от величины $kk$:

• Если $k>0k\; >\; 0$, вектор $\overrightarrow{ka}\backslash vec\{ka\}$ имеет ту же направленность, что и $\vec{a}\backslash vec\{a\}$.
• Если , то вектор $\overrightarrow{ka}\backslash vec\{ka\}$ направлен в противоположную сторону.

Доказательство: Произведение вектора на скаляр можно интерпретировать как масштабирование: вектор растягивается или сжимаются на определенный коэффициент $kk$. Например, если $k=2k\; =\; 2$, то вектор удваивается по длине.

4. Теорема о коллинеарности векторов

Теорема: Два вектора $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ коллинеарны, если существует такое число $kk$, что:

То есть векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ лежат на одной прямой, и один из них может быть выражен как масштабированное значение другого.

Доказательство: Векторы коллинеарны, если они направлены вдоль одной линии, или если их можно представить как линейную комбинацию друг друга с коэффициентом. Геометрически это означает, что один вектор можно получить, растянув или сжамши другой.

5. Теорема о скалярном произведении векторов

Теорема: Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ равно произведению их длин на косинус угла между ними:

где $\theta \backslash theta$ — угол между векторами.

Доказательство: Скалярное произведение выражает величину, зависящую от угла между векторами. Если угол равен 0 (векторы направлены в одну сторону), скалярное произведение максимально. Если угол равен 90° (векторы перпендикулярны), скалярное произведение равно нулю.

6. Теорема о векторном произведении векторов

Теорема: Векторное произведение двух векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ дает новый вектор, который перпендикулярен обоим исходным векторами, и его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

где $\theta \backslash theta$ — угол между векторами, а $\widehat{n}\backslash hat\{n\}$ — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$.

Доказательство: Векторное произведение может быть вычислено через детерминант матрицы, составленной из координат векторов. Его геометрическое значение заключается в нахождении вектора, который перпендикулярен плоскости, образованной двумя исходными векторами, и имеет длину, пропорциональную площади параллелограмма.

7. Теорема о линейной независимости векторов

Теорема: Набор векторов линейно независим, если единственным решением системы линейных уравнений:

является $c_1=c_2=\cdots =c_n=0c\_1\; =\; c\_2\; =\; \backslash dots\; =\; c\_n\; =\; 0$.

Доказательство: Линейно независимые векторы не могут быть выражены как линейная комбинация других векторов. Это означает, что все коэффициенты линейной комбинации, которая дает нулевой вектор, должны быть равны нулю.

Заключение

Теоремы с векторами являются основой для решения множества задач, как в геометрии, так и в физике и других науках. Важно понимать не только формулы, но и геометрический смысл векторных операций, так как они дают глубокое представление о многомерных пространствах и связях между объектами в этих пространствах.