Компланарные векторы

Компланарные векторы — это векторы, которые лежат в одной плоскости. То есть, если несколько векторов компланарны, то существует такая плоскость, в которой все эти векторы можно расположить, и они будут лежать в ней.

Условия компланарности векторов

Для того чтобы векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ и $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ были компланарными, должно существовать такая плоскость, на которой все три вектора лежат. Векторное произведение векторов $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ должно быть коллинеарно вектору $\vec{c}\backslash vec\{c\}$, то есть, векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ и $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ будут компланарными, если их векторное произведение равно нулю:

где $kk$ — некоторый скаляр. В случае, если это условие выполняется, векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ и $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ лежат в одной плоскости и являются компланарными.

Признак компланарности векторов

Векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ и $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ в трёхмерном пространстве будут компланарными, если их скалярное произведение и векторное произведение удовлетворяют следующему условию:

Если это условие выполняется, то векторы компланарны.

Геометрическая интерпретация

1. Компланарные векторы: Векторы, лежащие в одной плоскости. Например, два вектора, направленные вдоль осей координат, могут быть компланарными, так как они оба лежат в плоскости, определённой осями $XX$ и $YY$.

2. Не компланарные векторы: Векторы, которые не лежат в одной плоскости, например, векторы, направленные вдоль разных осей в трёхмерном пространстве.

Примеры компланарных векторов

Пример 1: Векторы в двумерном пространстве

Пусть даны два вектора $\vec{a}=(1,2)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2)$ и $\vec{b}=(3,4)\backslash vec\{b\}\; =\; (3,\; 4)$ в двумерном пространстве.

Решение: В двумерном пространстве всегда можно провести одну плоскость, в которой будут лежать оба вектора. Следовательно, они обязательно компланарны.

Ответ: Векторы компланарны.

Пример 2: Векторы в трёхмерном пространстве

Пусть даны векторы $\vec{a}=(1,2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$, $\vec{b}=(2,4,6)\backslash vec\{b\}\; =\; (2,\; 4,\; 6)$ и $\vec{c}=(1,1,1)\backslash vec\{c\}\; =\; (1,\; 1,\; 1)$ в трёхмерном пространстве.

Решение: Проверим условие компланарности:

1. Найдём векторное произведение $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$:

   Получаем:

   $\vec{a}\times \vec{b}=\widehat{i}(12-12)-\widehat{j}(6-6)+\widehat{k}(4-4)=\vec{0}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash hat\{i\}(12\; -\; 12)\; -\; \backslash hat\{j\}(6\; -\; 6)\; +\; \backslash hat\{k\}(4\; -\; 4)\; =\; \backslash vec\{0\}.$

2. Поскольку $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash vec\{0\}$, то векторы $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ и $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ лежат на одной прямой, и вектор $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ не изменяет компланарности.

Ответ: Векторы компланарны.

Пример 3: Векторы, не компланарные

Пусть даны векторы $\vec{a}=(1,2,3)\backslash vec\{a\}\; =\; (1,\; 2,\; 3)$, $\vec{b}=(4,5,6)\backslash vec\{b\}\; =\; (4,\; 5,\; 6)$ и $\vec{c}=(7,8,9)\backslash vec\{c\}\; =\; (7,\; 8,\; 9)$.

Решение: Проверим условие компланарности:

1. Найдём векторное произведение $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$:

   Получаем:

   $\vec{a}\times \vec{b}=\widehat{i}(12-15)-\widehat{j}(6-12)+\widehat{k}(5-8)=\widehat{i}(-3)-\widehat{j}(-6)+\widehat{k}(-3)\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash hat\{i\}(12\; -\; 15)\; -\; \backslash hat\{j\}(6\; -\; 12)\; +\; \backslash hat\{k\}(5\; -\; 8)\; =\; \backslash hat\{i\}(-3)\; -\; \backslash hat\{j\}(-6)\; +\; \backslash hat\{k\}(-3).$

   Таким образом:

   $\vec{a}\times \vec{b}=(-3,6,-3)\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}\; =\; (-3,\; 6,\; -3).$

2. Теперь проверим, компланарен ли вектор $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ с этим результатом: Проверим, можно ли выразить $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ как скалярную комбинацию векторов $\vec{a}\times \vec{b}\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\}$:

   $\vec{c}=(7,8,9)\mathrm{.}\backslash vec\{c\}\; =\; (7,\; 8,\; 9).$

   Поскольку векторное произведение не даёт нулевого вектора, векторы не компланарны.

Ответ: Векторы не компланарны.

Свойства компланарных векторов

1. Если несколько векторов компланарны, то они могут быть выражены как линейные комбинации друг друга.

2. Векторы, расположенные на одной плоскости, могут быть взаимно перпендикулярными, параллельными или иметь другие отношения.

3. Компланарность векторов имеет важное значение в механике и физике, например, для определения направлений сил, моментов и других характеристик.

Заключение

Компланарность векторов играет ключевую роль в геометрии и физике, так как она помогает анализировать взаимное расположение векторов в пространстве. Условие компланарности позволяет проверять, могут ли несколько векторов лежать на одной плоскости или, наоборот, образуют объёмные фигуры.