Информатика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Нужно рассматривать только элементы, остаток от деления которых на 3 не равен нулю.$$A[I] \bmod 3 \ne 0$$

Так как подходящий элемент гарантирован, можно найти первый такой элемент и сохранить его как текущий максимум. Например, просмотреть массив слева направо и при первом подходящем элементе записать его в переменную $J$.

Для составного числа $n$ минимальный нетривиальный делитель является минимальным простым делителем $p$. Максимальный нетривиальный делитель равен $n/p$, поэтому $M = p + n/p$.$$M = p + \frac{n}{p}$$

Проверяем числа, начиная с $800001$, и отбираем те, для которых $M$ оканчивается цифрой 4.

Так как число не превышает $10^8$, символ «*» может задавать только пустую последовательность или одну цифру. Перебираем все варианты цифр и проверяем соответствие маске и делимость на 253.$$N=12ab15*6$$

При пустой последовательности найдено число $1278156$. Делим его на 253.$$1278156\div253=5052$$

Обозначим через $c_i$ количество чётных цифр в $i$-й строке. В первой строке чётных цифр нет: $c_1=0$.

При построении каждой следующей строки предыдущая строка записывается дважды, поэтому её вклад удваивается. Дополнительно учитываем чётные цифры в номере строки.$$c_i=2c_{i-1}+e_i$$

Переменная $s$ изначально равна нулю, поэтому после выполнения цикла:$$s=(A[0]-A[1])+(A[1]-A[2])+\ldots+(A[9]-A[10])$$

Слагаемые с промежуточными элементами массива сокращаются попарно:$$s=A[0]-A[10]$$

Проверим числа, имеющие не более шести цифр в двоичной записи. Для чётного числа с $k$ цифрами результат имеет вид $10b_1b_2\ldots b_k$, поэтому $R=2^{k+1}+N$. Для нечётного числа результат имеет вид $1b_1b_2\ldots b_k01$, поэтому…

Наибольшее нечётное число с шестью двоичными цифрами — $63$. Для него $R=2^8+4\cdot63+1=509$, то есть условие ещё не выполняется.

Изначально $c=0$, а массив имеет вид $[4,5,3,2,1,7,8,9,9,3]$.

При $i=1$: $A[0]=4 < A[1]=5$. Увеличиваем $c$ до 1 и меняем элементы местами.$$c=1$$

Начальный массив: $[2, 4, 3, 6, 3, 7, 8, 2, 9, 1]$. При $i=1$ выполняется $2<4$, происходит обмен, $c=1$.$$A=[4,2,3,6,3,7,8,2,9,1]$$

При $i=2,3,4,5,6$ условия также выполняются. После каждого сравнения происходит обмен, поэтому к счётчику добавляется ещё 5.$$c=6$$

Введём префиксные суммы $S_0 = 0$ и $S_i = a_1 + a_2 + \dots + a_i$. Сумма подпоследовательности от позиции $l$ до позиции $r$ равна $S_r - S_{l-1}$.

Сумма будет кратна $97$, если $S_r \bmod 97 = S_{l-1} \bmod 97$. Поэтому для каждого остатка нужно рассматривать префиксные суммы с одинаковым остатком.

У каждого найденного числа три различных простых делителя. Минимальный делитель равен 2, максимальный — 61, поэтому $M = 2 + 61 = 63$.

Число $M = 63$ оканчивается на 63 и делится на количество различных простых делителей: $63$ делится на $3$.

Для каждого пункта заменяем количество пробирок числом контейнеров, округляя вверх до целого:$$w_i = \left\lceil \dfrac{q_i}{40} \right\rceil$$

Если лаборатория расположена в пункте с координатой $x$, стоимость доставки равна:$$S(x)=\sum_{i=1}^{N} w_i\lvert x_i-x\rvert$$

Пусть цифры вместо знаков «?» равны $a$ и $b$. Тогда число имеет вид$$N=123405708+100000a+10b$$

Найдём остатки слагаемых при делении на 19:$$123405708\equiv5,\quad 100000\equiv3,\quad 10\equiv10\pmod{19}$$

В начале $c=0$, а $A[0]=5$. При $i=1$: $A[1]=4<5$, поэтому $c=1$, после обмена $A[0]=4$.$$A[0]: 5\to4$$

При $i=2$: $A[2]=2<4$, поэтому $c=2$, после обмена $A[0]=2$.$$A[0]: 4\to2$$

В массиве из 20 элементов рассматриваются пары с индексами $(1,2), (2,3), \ldots, (19,20)$, поэтому достаточно перебрать первый индекс пары от 1 до $N-1$.$$i = 1, 2, \ldots, N-1$$

Число является чётным, если остаток от деления на 2 равен нулю. Для каждой пары проверяем чётность обоих элементов.$$a[i] \bmod 2 = 0 \land a[i+1] \bmod 2 = 0$$

Сначала обнуляем переменную j, которая будет хранить сумму подходящих элементов.$$j = 0$$

Просматриваем все элементы массива. Если элемент не меньше 99 и не кратен 4, добавляем его к сумме.$$a[i] \geq 99 \mathbin{\land} a[i] \bmod 4 \neq 0$$

Числа $N$ от $32$ до $63$ имеют шестизначную двоичную запись. Для нечётного числа к записи слева добавляется $1$, а справа — $01$.$$R = 2^{6+2} + 4N + 1 = 256 + 4N + 1$$

Требуется найти наименьшее нечётное $N$ в этом диапазоне, для которого $R > 441$.$$256 + 4N + 1 > 441$$

Так как число не превышает $10^8$, символ «*» может задавать только пустую последовательность или одну цифру.

Перебираем все числа вида $12ab15c6$, где $a$, $b$, $c$ — цифры, а также числа вида $12ab156$. Для каждого числа проверяем делимость на 273.

В начале работы программы $s = 0$, $n = 66$.

После каждого прохода цикла значение $s$ увеличивается на 8. Чтобы достичь значения не менее 71, потребуется 9 проходов: $8 \cdot 9 = 72$.

Изначально $A[9] = 3$, а $c = 0$. При $i=0$ значение $A[0]=2$ не больше 3, поэтому обмена нет.

При $i=1$: $A[1]=6 > 3$. Выполняется обмен, значение $A[9]$ становится равным 6, а $c=1$.

Пронумеруем показания начиная с нуля. Если последнее выбранное показание имеет индекс $i$, два предыдущих должны находиться среди позиций от $0$ до $i-K$.

Будем поддерживать для разрешённого префикса максимум одного числа $M_1$ и максимум произведения двух чисел $M_2$. При добавлении нового показания $a_i$ сначала добавляем в структуры число $a_{i-K}$ и обновляем $M_1$ и $M_2$.