Решение: Минимальное число после обработки
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом. Сначала строится двоичная запись числа $N$. Если число чётное, то к двоичной записи числа слева дописывается $10$. Если число нечётное, то к двоичной записи числа слева дописывается $1$, а справа — $01$. Полученная запись является двоичной записью числа $R$.
Например, для исходного числа $4_{10}=100_2$ результатом является число $20_{10}=10100_2$, а для исходного числа $5_{10}=101_2$ результатом является число $110101_2=53_{10}$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого получается число $R$, большее чем $516$. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
4 шагаПроверим числа, имеющие не более шести цифр в двоичной записи. Для чётного числа с $k$ цифрами результат имеет вид $10b_1b_2\ldots b_k$, поэтому $R=2^{k+1}+N$. Для нечётного числа результат имеет вид $1b_1b_2\ldots b_k01$, поэтому $R=2^{k+2}+4N+1$.
Наибольшее нечётное число с шестью двоичными цифрами — $63$. Для него $R=2^8+4\cdot63+1=509$, то есть условие ещё не выполняется.
Следующее подходящее число — $N=65$, его двоичная запись имеет семь цифр: $65_{10}=1000001_2$. Число нечётное, поэтому к записи слева добавляется $1$, а справа — $01$: $R=1100000101_2=773_{10}>516$.
Все меньшие значения $N$ дают результат не более $509$ либо относятся к чётным числам с меньшим результатом, поэтому минимальным является $N=65$.
Где здесь ошибаются
Неверно считать добавление цифр слева и справа обычным сложением.
Забыть, что добавление двух цифр справа умножает исходное число на $4$.
Проверять только нечётные числа и не учитывать длину двоичной записи.