Задание 25 ЕГЭ по информатике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Используем переменную $k$ как счётчик элементов, которые не делятся на 7, и вначале обнуляем её.$$k = 0$$

Последовательно просматриваем все элементы массива. Если остаток от деления элемента на 7 не равен нулю, элемент не делится на 7.$$a[i] \bmod 7 \ne 0$$

Начинаем с массива $(1, 7, 8, 4, 1, 1, 2, 2, 9, 5)$ и $c=0$. При $i=1$ выполняется условие $1<7$, поэтому происходит обмен и $c=1$.

После обмена при $i=2$ сравниваются $1$ и $8$: условие выполняется, $c=2$. При $i=3$ сравниваются $1$ и $4$: условие также выполняется, $c=3$.

Пронумеруем показания от $1$ до $N$. Если выбран элемент на позиции $i$, следующий выбранный элемент может находиться только на позиции не ранее $i+K$.

Будем поддерживать лучшие произведения для выбора одного, двух и трёх допустимых показаний среди обработанных позиций.

Проверим нечётные значения $N$. Для $N=1$ получаем $1100_2=12_{10}$, для $N=3$ — $11100_2=28_{10}$, для $N=5$ — $110100_2=52_{10}$.$$5_{10}=101_2\rightarrow 110100_2=52_{10}$$

Для следующего нечётного числа $N=7$ результат равен $111100_2=60_{10}$, что больше 55. При больших нечётных $N$ результат также не может уменьшиться.$$7_{10}=111_2\rightarrow 111100_2=60_{10}>55$$

Изначально $A[6] = 24$ и $s = 0$. При $i = 0, 1, 2$ условие выполняется. После обменов значение $A[6]$ последовательно становится равным 20, 19 и 17, а $s = 0 + 1 + 2 = 3$.$$s = 0 + 1 + 2 = 3$$

При $i = 3$ условие не выполняется, поскольку $A[3] = 41 > 17$. При $i = 4$ и $i = 5$ условие выполняется, поэтому $s = 3 + 4 + 5 = 12$.$$s = 3 + 4 + 5 = 12$$

Для каждого целого числа $n > 500\,000$ перебираем возможные делители $d$ от 2 до $\sqrt n$.

Если $d$ делит $n$, добавляем к сумме $R$ делители $d$ и $n/d$. Если $d^2=n$, добавляем только один из них.

Проследим изменение переменной $s$ после каждого выполнения тела цикла.$$100 \to 33 \to 11 \to 3 \to 1 \to 0$$

После пяти проходов значение $s$ становится равным нулю, поэтому цикл завершается.$$k = 5$$

Применим команды в последовательности 121211.$$0 \xrightarrow{1} 2$$

После команды 2 число утраивается: $2 \cdot 3 = 6$.$$2 \xrightarrow{2} 6$$

Читаем последовательность слева направо. В момент обработки числа $x = a_j$ все сохранённые числа являются элементами с индексами меньше $j$, поэтому условие $i < j$ выполняется автоматически.

Если $r = x \bmod m$, то для делимости суммы на $m$ остаток предыдущего числа должен быть равен $(m-r) \bmod m$.$$a_i \bmod m = (m - (x \bmod m)) \bmod m$$

Переменная $s$ изначально равна 0. На каждом шаге цикла сравниваются соседние элементы $A[j]$ и $A[j+1]$.

Если $A[j] > A[j+1]$, выполняется обмен элементов, а значение $s$ увеличивается на 1.

Инициализируем счётчик подходящих элементов нулём.$$j = 0$$

Первым циклом просматриваем весь массив. Элемент учитывается, если он больше 50 и его последняя цифра равна 0.$$a[i] > 50 \;\text{и}\; a[i] \bmod 10 = 0$$

Ищем минимальное число $R$, превышающее 190. Ближайшее такое число — 191, но оно не получается при рассмотрении правил построения записи.

Для чётного $N$ к двоичной записи числа слева приписывается единица, а справа — два нуля. Возьмём наименьшее число, двоичная запись которого после такого преобразования может дать значение около 191: $N=16$.

Для чётного числа с шестью двоичными разрядами слева добавляется единица, а справа — два нуля. Уже при $N=32$ получаем $R=11000000_2=192$, а при $N=34$ и больших чётных числах результат превышает $210$. Поэтому проверяем нечётные числа.

Для нечётного числа $N=49$ двоичная запись имеет вид $110001_2$. Сумма её цифр равна $4? Нет, сумма равна 3$, а её двоичная запись — $11_2$.

Перебираем простые числа, содержащие последовательность цифр 16 ровно один раз. Для каждого такого простого p ищем простое q с тем же свойством, чтобы произведение $pq$ было больше 1 103 285 717.$$n=pq$$

Первые подходящие произведения с наименьшими множителями имеют пары $(p,q)$: $(163,6\,769\,163)$, $(167,6\,607\,163)$, $(163,6\,770\,161)$, $(167,6\,608\,161)$ и $(163,6\,771\,161)$.

В начале $s = 0$ и $n = 0$. Условие цикла выполняется, пока $s < 71$.

После каждого прохода цикла значение $s$ увеличивается на 8. После 8 проходов $s = 64$, условие ещё выполняется.

Числа $N$ с двоичной записью длины не более трёх не превосходят 7, поэтому для поиска максимального ответа достаточно рассмотреть четырёхразрядные числа от 8 до 15.

Для $N=8$ имеем $1000_2$. Сумма цифр чётная, поэтому после дописывания нуля и замены двух левых разрядов получаем $10000_2=16$.