Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по информатике: «Основы программирования» — с ответами

Преобразуем функцию:$$F(x)=2(x^2-1)^2+41$$

Квадрат неотрицателен, поэтому минимальное значение функции равно $41$ и достигается при $x^2-1=0$, то есть при $x=-1$ и $x=1$.$$F(-1)=F(1)=41$$

После каждого выполнения цикла значение $n$ удваивается. Чтобы программа вывела 64, цикл должен выполниться шесть раз.$$1 \cdot 2^6 = 64$$

За шесть итераций из переменной $s$ последовательно вычитаются числа $1, 2, 4, 8, 16, 32$. Для начала шестой итерации после первых пяти вычитаний должно оставаться положительное значение.$$s' - (1+2+4+8+16) > 0 \Rightarrow s' \geq 32$$

Изначально $s=175$, $n=0$, поэтому $s+n=175$. На каждой итерации $s$ уменьшается на 10, а $n$ увеличивается на 30.$$\Delta(s+n)=-10+30=20$$

После $k$ итераций сумма равна $175+20k$. Цикл выполняется, пока эта сумма меньше 325.$$175+20k<325$$

Функция имеет вид $F(x)=2(x^2-49)^2+5$. Её минимальное значение достигается при $x^2=49$, то есть при $x=-7$ и $x=7$.$$F(-7)=F(7)=5$$

Цикл перебирает значения от $-20$ до $20$. Значение $x=-7$ встречается раньше, чем $x=7$, и при $x=7$ условие строго меньшего значения не выполняется. Поэтому сохраняется $M=-7$.$$M=-7$$

После выполнения первого присваивания обозначим значение переменной $s$ через $t$:$$t = \left\lfloor \dfrac{s - 21}{10} \right\rfloor$$

Изначально $n = 1$. При первой итерации цикла $n$ принимает значение 2, а при второй — значение 4.

Программа увеличивает переменную $i$, пока выполняется условие $i^3 < 2k + 2$. Поэтому после завершения цикла $i$ — наименьшее целое число, для которого $i^3 \geq 2k + 2$.$$i^3 \geq 2k + 2$$

При $k = 27$ имеем $G(27) = 2 \cdot 27 + 2 = 56$. Значения $i = 1, 2, 3$ не подходят, а при $i = 4$ условие цикла становится ложным, так как $4^3 = 64 \geq 56$. Программа выводит $4$.$$3^3 < 56 \leq 4^3$$

Изначально $s = 0$, $n = 96$. На каждой итерации цикла значение $s$ увеличивается на 8.$$s_k = 8k$$

Нужно найти наименьшее число итераций $k$, при котором условие $s < 71$ перестанет выполняться.$$8k \geq 71 \Rightarrow k = 9$$

После $k$ итераций значение переменной $s$ равно:$$s = 260 - 15k$$

Цикл продолжается, пока $s > 0$. Наименьшее число итераций, при котором условие перестаёт выполняться:$$260 - 15k \leq 0 \Rightarrow k \geq \frac{260}{15} \Rightarrow k = 18$$

В начале работы программы $s=0$, $n=75$, поэтому $s+n=75$.

За одну итерацию цикла значение $s+n$ увеличивается на $15-5=10$. Условие цикла выполняется для сумм $75, 85, 95, 105, 115, 125, 135$ — всего 7 раз.

Функция имеет вид $F(x)=2(x^2-9)^2+27$. Минимальное значение достигается, когда $x^2=9$, то есть при $x=-3$ и $x=3$.$$F(-3)=F(3)=2\cdot 0^2+27=27$$

Цикл перебирает значения от $-20$ до $20$. При $t=-3$ значение $R$ становится равным $27$, а $M$ — равным $-3$.

Изначально $s=0$, $n=95$, поэтому $s+n=95$. За каждую итерацию сумма увеличивается на 5.$$s+n=95+5k$$

После 16 итераций сумма равна 175, условие цикла всё ещё выполняется. Значение переменной $n$ равно:$$n=95-5\cdot16=15$$

Изначально $s = 0$, $n = 1$. На каждой итерации цикла к $s$ прибавляется 11.$$s: 0 \to 11 \to 22 \to 33 \to 44 \to 55$$

Условие $s < 51$ остаётся истинным для первых пяти итераций. После пятой итерации $s = 55$, поэтому цикл завершается.$$5 \text{ итераций}$$

Чтобы программа вывела 32, цикл должен выполниться пять раз: переменная $n$ последовательно принимает значения $2$, $4$, $8$, $16$, $32$.

За первые четыре итерации из начального значения переменной $s$ вычитается сумма $2 + 4 + 8 + 16 = 30$. Для начала пятой итерации полученное значение должно быть положительным, поэтому начальное значение после целочисленного деления…$$s_0 - 30 > 0 \Rightarrow s_0 \geq 31$$

Рассмотрим функцию $F(t)=\left|\,|t-6|+|t+6|-16\,\right|+2$.

При $|t|\leq 6$ сумма $|t-6|+|t+6|$ равна $12$, поэтому $F(t)=|-4|+2=6$.

В цикле переменная $R$ хранит наименьшее найденное значение функции $F$, а $M$ — последнее значение $t$, при котором этот минимум достигнут.$$F(x)=\left|\left|x-4\right|+\left|x+4\right|-12\right|+1$$

Для $-4\leq x\leq 4$ имеем $|x-4|+|x+4|=8$, поэтому $F(x)=5$.

В начале работы программы $s=0$, $n=90$, поэтому сумма равна 90 и цикл запускается.$$s+n=0+90=90<135$$

Последовательно выполняем тело цикла и получаем пары значений $(s,n)$:$$(15,85)\to(30,80)\to(45,75)\to(60,70)\to(75,65)$$

Начальные значения: $s=0$, $n=90$. На каждой итерации $s$ увеличивается на 15, а $n$ уменьшается на 5.$$s_k=15k,\quad n_k=90-5k$$

Проверим условие после итераций. После пяти итераций $s=75$, $n=65$, поэтому $s+n=140<145$, и цикл выполняется ещё раз.$$75+65=140<145$$

Переменная $n$ принимает значения $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$. Чтобы программа вывела 16, цикл должен выполниться ровно четыре раза.$$1 \to 2 \to 4 \to 8 \to 16$$

Пусть после первого присваивания значение переменной $s$ равно $t$. За четыре выполнения цикла из него вычитается сумма $1+2+4+8=15$.$$t \to t-1 \to t-3 \to t-7 \to t-15$$

Значение функции имеет вид $F(x) = 2(x^2 - 9)^2 + 5$. Квадрат неотрицателен, поэтому минимальное значение достигается при $x^2 - 9 = 0$.$$x^2 = 9$$

Подходящие целые значения: $x = -3$ и $x = 3$. При обоих значениях $F(x) = 5$.$$F(-3) = F(3) = 5$$

В начале работы программы $s = 155$, $n = 0$. На каждой итерации $s$ уменьшается на $5$, а $n$ увеличивается на $10$.

После $k$ итераций значения переменных равны:$$s = 155 - 5k,\quad n = 10k$$