Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15: $99658x29_{15} + 102x023_{15}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной…
1
Поскольку $15 \equiv 1 \pmod{14}$, каждая степень основания 15 сравнима с единицей по модулю 14. Поэтому остаток числа равен сумме его цифр.$$99658x29_{15}+102x023_{15} \equiv (48+x)+(8+x)=56+2x \pmod{14}$$
2
Для кратности выражения 14 необходимо, чтобы $56+2x$ делилось на 14. Следовательно, $2x$ делится на 14, то есть $x$ кратно 7. Допустимые значения: $0$, $7$, $14$; наибольшее значение — $x=14$.
Значение арифметического выражения $343^{515} - 6 \cdot 49^{520} + 5 \cdot 49^{510} - 3 \cdot 7^{530} - 550$ записали в системе счисления с основанием $7$. Определите количество цифр $6$ в записи…
1
Заменим основания степеней на степени числа $7$:$$343^{515}=(7^3)^{515}=7^{1545},\quad 49^{520}=(7^2)^{520}=7^{1040},\quad 49^{510}=(7^2)^{510}=7^{1020}$$
2
Исходное выражение преобразуется к виду:$$N=7^{1545}-6\cdot 7^{1040}+5\cdot 7^{1020}-3\cdot 7^{530}-550$$