Информатика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Точки внутри области Черепахи

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   Последовательно выполняем команды Черепахи и строим ломаную на координатной плоскости. При поворотах на 45 градусов направления становятся диагональными, поэтому в координатах появляются выражения с $\sqrt{2}$.$$x'=x+l\cos\alpha,\quad y'=y+l\sin\alpha$$
2. 2
   После построения всей траектории выделяем ограниченную линией область. Перебираем точки с целыми координатами в её ограничивающем прямоугольнике и проверяем, лежит ли каждая точка строго внутри области.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление значения алгоритма

Напишите число, которое будет выведено в результате выполнения следующего алгоритма.

1. 1
   Функция принимает вид $F(x) = 2(x^2 - 16)^2 + 41$. Так как квадрат неотрицателен, минимальное значение функции равно $41$ и достигается при $x^2 = 16$, то есть при $x = -4$ и $x = 4$.$$F(-4) = F(4) = 41$$
2. 2
   Цикл перебирает значения $t$ от $-20$ до $20$. Условие содержит знак «меньше или равно», поэтому при одинаковом минимальном значении запись обновляется. Последним из двух значений будет $t = 4$, следовательно, $M = 4$ и $R = 41$.$$M + R = 4 + 41 = 45$$

Тройки чисел в последовательности

В файле содержится последовательность натуральных чисел. Элементы последовательности могут принимать целые значения от 1 до 100 000 включительно. Определите количество троек элементов…

1. 1
   Из файла необходимо получить всю последовательность и найти максимальное число, оканчивающееся на 13.$$M = \max\{x \mid x \bmod 100 = 13\}$$
2. 2
   Для каждой тройки соседних элементов подсчитывается количество трёхзначных чисел.$$100 \leq x \leq 999$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт троек в последовательности

В файле содержится последовательность целых чисел. Элементы последовательности могут принимать целые значения от $-100\,000$ до $100\,000$ включительно. Определите количество троек элементов…

1. 1
   Считать из файла всю последовательность целых чисел.
2. 2
   Среди элементов последовательности найти максимальный элемент, оканчивающийся на 21. Для неотрицательных чисел это проверяется условием $x \bmod 100 = 21$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Цикл с изменением переменных

Запишите число, которое будет напечатано в результате выполнения следующей программы. Программа представлена на пяти языках программирования.

1. 1
   В начале работы программы $s=175$, $n=0$, поэтому $s+n=175$.
2. 2
   За одну итерацию цикла значение $s+n$ увеличивается на $20$.$$(s-10)+(n+30)=s+n+20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Минимальное значение переменной

Определите, при каком наименьшем введённом значении переменной $s$ программа выведет число 8. Для Вашего удобства программа представлена на четырёх языках программирования.

1. 1
   Обозначим через $s_0$ значение переменной после целочисленного деления. В начале цикла $n = 1$.$$s_0 = (s - 21) // 10$$
2. 2
   На первой итерации переменная $n$ принимает значение 2, на второй — 4, на третьей — 8. Чтобы цикл выполнился три раза, перед третьей итерацией должно быть $s_0 - 2 - 4 \geq 0$.$$s_0 \geq 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт точек внутри фигур

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   После выполнения первой команды «Повтори 2» Черепаха рисует прямоугольник от $x=0$ до $x=10$ и от $y=0$ до $y=3$. Его размеры — $10 \times 3$.
2. 2
   Число целочисленных точек внутри и на границе первого прямоугольника:$$(10+1)(3+1)=44$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Результат работы цикла

Запишите число, которое будет напечатано в результате выполнения следующей программы. Для удобства программа представлена на языке Python.

1. 1
   После $k$ итераций значения переменных равны $s = 175 - 5k$ и $n = 15k$.$$s - n = (175 - 5k) - 15k = 175 - 20k$$
2. 2
   Цикл выполняется, пока разность положительна. При $k = 8$ разность равна $15$, поэтому восьмая итерация завершена. При следующей проверке выполняется ещё одна итерация.$$175 - 20 \cdot 8 = 15 > 0,\quad 175 - 20 \cdot 9 = -5 < 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Цикл с условием

Запишите число, которое будет напечатано в результате выполнения следующей программы. Для удобства программа представлена на пяти языках программирования.

1. 1
   Изначально $s = 405$, $n = 0$. На каждой итерации цикла значение $s$ уменьшается на 20.$$s_k = 405 - 20k$$
2. 2
   Цикл продолжается, пока $s > 0$. После 20 итераций $s = 405 - 20 \cdot 20 = 5$, поэтому выполняется ещё одна итерация.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Цикл с условием

Запишите число, которое будет напечатано в результате выполнения программы.

1. 1
   Изначально $s = 230$. Цикл продолжается, пока $s > 0$, и на каждой итерации уменьшает $s$ на 15.$$s_k = 230 - 15k$$
2. 2
   Найдём минимальное число итераций, при котором значение $s$ станет неположительным:$$230 - 15k \leq 0 \Rightarrow k \geq \frac{230}{15} \Rightarrow k = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Максимальное число повторений

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости. Команда «сместиться на $(a, b)$» перемещает его из точки $(x, y)$ в точку $(x+a, y+b)$, где $a$ и $b$ — целые числа. Чертёжнику был дан…

1. 1
   Суммарное смещение по оси $x$ должно быть равно нулю:$$4+n(a+4)-28=0$$
2. 2
   Отсюда получаем первое условие на число повторений:$$n(a+4)=24$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Цикл с условием

Запишите число, которое будет напечатано в результате выполнения следующей программы. Для удобства программа представлена на одном из языков программирования.

1. 1
   В начале работы программы $s = 280$, $n = 0$. На каждой итерации цикла значение $s$ уменьшается на $15$.$$s = 280 - 15k$$
2. 2
   Цикл продолжается, пока перед очередной итерацией $s > 0$. После $18$ итераций $s = 280 - 15 \cdot 18 = 10$, поэтому выполняется и $19$-я итерация.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пары чисел из файла

В файле содержится последовательность натуральных чисел. Элементы последовательности могут принимать целые значения от 1 до 100 000 включительно. Определите количество пар последовательности, в…

1. 1
   Считать все числа из файла и найти среди них трёхзначные числа, оканчивающиеся на 5. Минимальное из них обозначим через m.$$m = \min\{x \mid 100 \leq x \leq 999,\ x \bmod 10 = 5\}$$
2. 2
   Последовательно рассмотреть все пары соседних элементов a_i и a_{i+1}. Пара подходит, если хотя бы один элемент является трёхзначным числом и сумма элементов кратна m.$$(100 \leq a_i \leq 999 \lor 100 \leq a_{i+1} \leq 999) \land (a_i+a_{i+1}) \bmod m = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт точек внутри области

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   После начальной команды «Направо 45» Черепаха направляется под углом 45° к осям. Последовательное выполнение команд строит ломаную из отрезков, направления которых повторяются с поворотом на 180°.
2. 2
   Вычисляем координаты всех вершин ломаной, начиная с точки $(0,0)$. Диагональные перемещения длиной 5 имеют приращения координат по модулю $5 / \sqrt{2}$, а горизонтальные и вертикальные перемещения длиной 10 изменяют одну координату на 10.

Ещё 2 шага — в полном решении

Цикл с уменьшением переменной

Запишите число, которое будет напечатано в результате выполнения программы. Для удобства программа представлена на пяти языках программирования.

1. 1
   На каждой итерации переменная $s$ уменьшается на 10. Из начального значения 265 после 26 итераций получится 5, поэтому цикл ещё выполнится один раз.$$265 - 26 \cdot 10 = 5$$
2. 2
   После 27-й итерации значение $s$ станет отрицательным, и цикл завершится.$$265 - 27 \cdot 10 = -5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Минимум функции в цикле

Определите число, которое будет напечатано в результате выполнения алгоритма. Функции $\mathrm{abs}$ и $\mathrm{iabs}$ возвращают абсолютное значение своего входного параметра. В алгоритме задана…

1. 1
   Сначала вычисляется значение функции при $a=-20$: $R=F(-20)=\left|23+16-11\right|+4=32$, а $M=-20$.
2. 2
   Затем перебираются все целые значения $t$ от $-20$ до $20$. При каждом значении, для которого $F(t)\leq R$, переменные $M$ и $R$ заменяются на $t$ и $F(t)$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Максимальное значение переменной s

Определите, при каком наибольшем введённом значении переменной $s$ программа выведет число 32. Для удобства программа представлена на нескольких языках программирования.

1. 1
   Начальное значение переменной $n$ равно 1024. На каждой итерации оно делится на 2.$$1024 \to 512 \to 256 \to 128 \to 64 \to 32$$
2. 2
   Чтобы получить 32, цикл должен выполниться 5 раз, так как $1024 / 2^5 = 32$.$$n = \dfrac{1024}{2^5} = 32$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Анализ троек последовательности

В файле содержится последовательность целых чисел. Элементы последовательности могут принимать целые значения от −100 000 до 100 000 включительно. Определите количество троек идущих подряд элементов…

1. 1
   Просматриваем всю последовательность и находим максимальное число, оканчивающееся на 17.$$M = \max\{a_i \mid a_i \bmod 100 = 17\}$$
2. 2
   Для каждой тройки идущих подряд элементов вычисляем сумму.$$S_i = a_i + a_{i+1} + a_{i+2}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Максимальное значение переменной

Определите, при каком наибольшем введённом значении переменной $s$ программа выведет число 128. Для Вашего удобства программа представлена на четырёх языках программирования.

1. 1
   На каждой итерации цикла значение $n$ целочисленно делится на 2. Нужно определить число итераций, после которых из 1024 получится 128.$$1024 \mathbin{//} 2^k = 128$$
2. 2
   Решаем уравнение: после трёх итераций значение $n$ равно 128.$$1024 \mathbin{//} 2^3 = 128$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Максимальное значение переменной

Определите, при каком наибольшем введённом значении переменной s программа выведет число 32. Для Вашего удобства программа представлена на четырёх языках программирования.

1. 1
   Обозначим через $t$ значение переменной после первой строки преобразования:$$t = \left\lfloor\frac{s - 21}{10}\right\rfloor$$
2. 2
   Чтобы программа вывела $32$, цикл должен выполниться пять раз. Значения переменной $n$ при этом последовательно равны $2$, $4$, $8$, $16$, $32$.

Ещё 4 шага — в полном решении