Математика, профиль · ЕГЭ

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $9^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a} = (-3; 5)$ и $\vec{b} = (1; 13)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=7$, $BC=6$, $AA_1=5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 6 из Швеции, 5 из Дании, 10 из Норвегии и 4 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Норвегии.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,1. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,07. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Найдите корень уравнения $7^{11-x}=49$.

Найдите значение выражения $\dfrac{14^{6,4}\cdot 7^{-5,4}}{2^{4,4}}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-2$, $-1$, $3$, $4$. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Найдите корень уравнения $\sqrt[3]{x+6}=4$.

Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой — за 24 часа. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\dfrac{k}{x}$. Найдите значение $f(10)$.

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на 60 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца, со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга, а 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. К 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно $A$, если общая сумма платежей в 2027 году составит 2508 тыс. рублей?

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BM$ и $CK$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB = 8$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды равен $45^\circ$.

Решите неравенство $$\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}-9\cdot2^{x+4}+4}\le 2^{x+1}-\frac{1}{2^{x-2}}+\frac{3}{2^{x+1}-1}.$$

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %.

а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB=10$, $BC=9$, $CD=30$, $AD=39$.

а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
б) Найдите $O_1O_2$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2-x)a^2+(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$ имеет ровно два различных корня.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.